Use a serie geométrica para encontrar a serie de potências das seguintes funções
x^2 tan ^-1(x^3)

Passo 1

Estamos buscando a série de potências de
f(x)=x^2,tan^-1l(x^3r)
Para isso, vamos usar duas ideias: a expansão em série geométrica de tfrac11+t^2 e a relação
ddtl[tan^-1(t)r]=11+t^2

Passo 2

Recordando a série geométrica, temos para lvert zrvert<1:
11-z=sumn=0^inftyz^n
Fazendo z=-t^2 obtém-se
11+t^2 =sumn=0^infty(-1)^nt^2n

Passo 3

Como
ddtl[tan^-1(t)r] =11+t^2 =sumn=0^infty(-1)^nt^2n,
integramos termo a termo de t=0 a t=x^3:
tan^-1l(x^3r) =integral0^x^3sumn=0^infty(-1)^nt^2n,dt =sumn=0^infty(-1)^nintegral0^x^3t^2n,dt =sumn=0^infty(-1)^n(x^3)^2n+12n+1

Passo 4

Multiplicando por x^2, obtemos
x^2,tan^-1l(x^3r) =x^2sumn=0^infty(-1)^nx^3(2n+1)2n+1 =sumn=0^infty(-1)^nx^6n+52n+1

Resposta

boxed x^2,tan^-1l(x^3r) =sumn=0^infty(-1)^nx^6n+52n+1, |x|<1

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