Use a serie geométrica para encontrar a serie de potências das seguintes funções
1(1+x)^2

Passo 1

O enunciado pede a série de potências de 1(1+x)^2 centrada em zero. Vamos usar como ponto de partida a série geométrica para 11+u e depois diferenciar termo a termo para obter 1(1+u)^2.

Passo 2

Recordando a série geométrica para 11+u (válida para lvert urvert<1):
11+u ;=;sumn=0^infty(-1)^n,u^n

Passo 3

Diferenciando em u termo a termo, obtemos:
ddu11+u =sumn=1^infty(-1)^n,n,u^n-1
Como
ddu(1+u)^-1=-,(1+u)^-2,
segue que
-,(1+u)^-2 =sumn=1^infty(-1)^n,n,u^n-1 Longrightarrow 1(1+u)^2 =sumn=1^infty(-1)^n+1n,u^n-1

Passo 4

Fazendo a mudança de índice m=n-1 na soma acima:
1(1+u)^2 =summ=0^infty(-1)^(m+1)+1(m+1),u^m =summ=0^infty(-1)^m,(m+1),u^m
Bastou renomear u=x para chegar à série desejada.

Resposta

1(1+x)^2 =sumn=0^infty(-1)^n,(n+1),x^n, |x|<1

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