Dê o domínio e esboce o gráfico.
y=\frac{1}{1+x}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claras:
  • Dizer o domínio da função.
  • Esboçar o gráfico da função.
As informações fornecidas:
  • A função dada é y=\dfrac{1}{1+x}.
  • Na imagem há um sistema de eixos com marcações de x de -5 a 5 e de y aproximadamente de -4 a 6. (Peguei essas informações da imagem; há também, no canto superior direito da imagem, uma anotação que parece ser outra fórmula y=\dfrac{1}{x}+1, mas vou usar a fórmula do enunciado que é y=\dfrac{1}{1+x}.)
O que vamos responder: primeiro determinar para quais x a função está definida (domínio) e depois identificar os pontos e comportamentos importantes para desenhar o gráfico (assíntotas, sinais, pontos notáveis) e descrever como traçar os ramos.

Passo 2

Encontrar o domínio: explicar a regra e aplicar.
  • Regra: uma expressão racional \dfrac{1}{\text{denominador}} está definida para todos os x em que o denominador é diferente de zero.
  • Aplicando: o denominador aqui é 1+x. Exigir 1+x\neq0.
  • Resolver 1+x\neq0 x\neq-1.
Portanto o domínio é todos os reais exceto -1:
\text{Domínio } = (-\infty,-1)\cup(-1,\infty).í

Passo 3

Identificar a assíntota vertical (intuição e limite).
  • Intuição: quando o denominador se aproxima de zero a função pode explodir para +\infty ou -\infty; isso sinaliza assíntota vertical.
  • Aqui o denominador anula em x=-1, logo investigar os limites laterais.
\lim_{x\to-1^{+}}\dfrac{1}{1+x}=+\infty, \qquad \lim_{x\to-1^{-}}\dfrac{1}{1+x}=-\infty.
  • Conclusão: há uma assíntota vertical em x=-1.

Passo 4

Identificar a assíntota horizontal (comportamento em infinito).
  • Calcular limites quando x\to\infty e x\to-\infty.
\lim_{x\to\infty}\dfrac{1}{1+x}=0, \qquad \lim_{x\to-\infty}\dfrac{1}{1+x}=0.
  • Conclusão: há uma assíntota horizontal em y=0.

Passo 5

Estudar o sinal e pontinhos para ajudar o esboço.
  • Para x>-1: 1+x>0 então y>0. Assim o ramo à direita da assíntota vertical está acima do eixo x.
  • Para x<-1: 1+x<0 então y<0. Assim o ramo à esquerda da assíntota vertical está abaixo do eixo x.
Calcular pontos fáceis para plotar:
y(0)=\dfrac{1}{1+0}=1 \quad\text{ponto }(0,1).
y(1)=\dfrac{1}{2} \quad\text{ponto }(1,\tfrac{1}{2}).
y(2)=\dfrac{1}{3} \quad\text{ponto }(2,\tfrac{1}{3}).
y(-2)=\dfrac{1}{-1}=-1 \quad\text{ponto }(-2,-1).
Mais um ponto à direita da assíntota, perto dela:
y(-0,5)=\dfrac{1}{1-0,5}=\dfrac{1}{0,5}=2 \quad\text{ponto }(-0,5,2).
Com esses pontos fica fácil ver a forma dos ramos.
Observações:
  • Não existe intercepto em x (nunca se atinge y=0).
  • O ponto (0,1) é o intercepto com o eixo y.

Passo 6

Interpretação geométrica (transformação conhecida) — ajuda a desenhar rápido.
  • Fazer a mudança de variável u=x+1. Então y=\dfrac{1}{u}.
  • Isso mostra que o gráfico é exatamente o gráfico de y=\dfrac{1}{x} transladado uma unidade para a esquerda (porque u=x+1 significa deslocamento de -1 na direção x).
  • Logo o centro “da hipérbole” fica em (-1,0) e as assíntotas são as mesmas deslocadas: x=-1 (vertical) e y=0 (horizontal).

Passo 7

Como esboçar o gráfico no papel (passo a passo prático):
  1. Desenhar no papel a linha tracejada vertical x=-1 (assíntota vertical) e a linha tracejada horizontal y=0 (assíntota horizontal).
  2. Marcar os pontos calculados: (0,1), (1,\tfrac{1}{2}), (2,\tfrac{1}{3}) no ramo direito; (-2,-1) no ramo esquerdo; e um ponto próximo à assíntota como (-0,5,2) para indicar que o ramo direito sobe muito perto de x=-1.
  3. Desenhar suavemente dois ramos hiperbólicos:
    • Ramo direito ( x>-1): parte alta quando x\to-1^{+} e desce aproximando-se de y=0^{+} quando x\to\infty.
    • Ramo esquerdo ( x<-1): parte muito negativa quando x\to-1^{-} e sobe aproximando-se de y=0^{-} quando x\to-\infty.
  4. Evitar cruzar as assíntotas; os ramos só se aproximam das assíntotas.
Pronto — com as assíntotas, os pontos e essa forma, o esboço fica correto e rápido.

Resposta

\text{Domínio} = (-\infty,-1)\cup(-1,\infty)í
Gráfico: assíntota vertical x=-1, assíntota horizontal y=0; para x>-1 o ramo está acima do eixo x (por exemplo (0,1),(1,\tfrac{1}{2})), tende a +\infty quando x\to-1^{+} e a 0^{+} quando x\to\infty; para x<-1 o ramo está abaixo do eixo x (por exemplo (-2,-1)), tende a -\infty quando x\to-1^{-} e a 0^{-} quando x\to-\infty.

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