Dê o domínio e esboce o gráfico.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas claras:
- Dizer o domínio da função.
- Esboçar o gráfico da função.
As informações fornecidas:
- A função dada é
. - Na imagem há um sistema de eixos com marcações de
de a e de aproximadamente de a . (Peguei essas informações da imagem; há também, no canto superior direito da imagem, uma anotação que parece ser outra fórmula , mas vou usar a fórmula do enunciado que é .)
O que vamos responder: primeiro determinar para quais
a função está definida (domínio) e depois identificar os pontos e comportamentos importantes para desenhar o gráfico (assíntotas, sinais, pontos notáveis) e descrever como traçar os ramos.
Passo 2
Encontrar o domínio: explicar a regra e aplicar.
- Regra: uma expressão racional
está definida para todos os em que o denominador é diferente de zero. - Aplicando: o denominador aqui é
. Exigir . - Resolver
dá .
Portanto o domínio é todos os reais exceto
:
Passo 3
Identificar a assíntota vertical (intuição e limite).
- Intuição: quando o denominador se aproxima de zero a função pode explodir para
ou ; isso sinaliza assíntota vertical. - Aqui o denominador anula em
, logo investigar os limites laterais.
- Conclusão: há uma assíntota vertical em
.
Passo 4
Identificar a assíntota horizontal (comportamento em infinito).
- Calcular limites quando
e .
- Conclusão: há uma assíntota horizontal em
.
Passo 5
Estudar o sinal e pontinhos para ajudar o esboço.
- Para
: então . Assim o ramo à direita da assíntota vertical está acima do eixo . - Para
: então . Assim o ramo à esquerda da assíntota vertical está abaixo do eixo .
Calcular pontos fáceis para plotar:
Mais um ponto à direita da assíntota, perto dela:
Com esses pontos fica fácil ver a forma dos ramos.
Observações:
- Não existe intercepto em
(nunca se atinge ). - O ponto
é o intercepto com o eixo .
Passo 6
Interpretação geométrica (transformação conhecida) — ajuda a desenhar rápido.
- Fazer a mudança de variável
. Então . - Isso mostra que o gráfico é exatamente o gráfico de
transladado uma unidade para a esquerda (porque significa deslocamento de na direção ). - Logo o centro “da hipérbole” fica em
e as assíntotas são as mesmas deslocadas: (vertical) e (horizontal).
Passo 7
Como esboçar o gráfico no papel (passo a passo prático):
- Desenhar no papel a linha tracejada vertical
(assíntota vertical) e a linha tracejada horizontal (assíntota horizontal). - Marcar os pontos calculados:
, , no ramo direito; no ramo esquerdo; e um ponto próximo à assíntota como para indicar que o ramo direito sobe muito perto de . - Desenhar suavemente dois ramos hiperbólicos:
- Ramo direito (
): parte alta quando e desce aproximando-se de quando . - Ramo esquerdo (
): parte muito negativa quando e sobe aproximando-se de quando .
- Ramo direito (
- Evitar cruzar as assíntotas; os ramos só se aproximam das assíntotas.
Pronto — com as assíntotas, os pontos e essa forma, o esboço fica correto e rápido.
Resposta
Gráfico: assíntota vertical