Exemplo 26. Classifique em verdadeira (V) ou falsa (F) cada uma das sentenças abaixo:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
Passo 1
O enunciado pede: classificar em verdadeira (V) ou falsa (F) cada uma das sentenças abaixo:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
Informações relevantes dadas (explicitadas): cada expressão usa radiciação (raízes) e potências; precisamos saber como interpretar o símbolo de raiz (raiz principal) e as diferenças entre raízes de índice par (ex.: quadrada, quarta) e de índice ímpar (ex.: cúbica).
Passo 2
Conceitos-chave que vou usar (explicação didática e sem pular etapas):
-
Definição de raiz enésima principal: para um inteiro
e um número real , a notação representa a raiz enésima principal de . - Se
é par (por exemplo ), a raiz principal só está definida no conjunto dos (se quisermos número real) e sempre devolve um número não negativo. Ou seja, para par, . - Se
é ímpar (por exemplo ), a raiz enésima principal existe para todo e pode ser negativa ou positiva conforme .
- Se
-
Relação entre potências e raiz:
- Em geral,
quando a raiz for definida (essa é uma forma de checar). - No sentido inverso,
nem sempre volta a ; depende do índice : - Se
é par, . Exemplo clássico: . - Se
é ímpar, para todo .
- Se
- Em geral,
-
Lembrete sobre equações quadráticas: a equação
tem duas soluções e . Isso é diferente da notação , que significa a raiz principal (apenas ), não as duas soluções.
Vou aplicar essas ideias passo a passo às sentenças do enunciado.
Passo 3
Analisando a)
.
- O índice da raiz é
(ímpar). Para raiz cúbica, existe exatamente um número real cuja terceira potência é . - Verificar:
. - Como a raiz cúbica principal de
é o número real cuja terceira potência é , portanto .
Conclusão: a) é verdadeira.
Passo 4
Analisando b)
.
- Aqui o símbolo
é raiz quadrada (índice , par). A raiz quadrada principal de é o número não negativo cujo quadrado é . - Temos
e , então a equação tem as soluções e . Mas a notação não lista as soluções da equação; ela representa a raiz principal, que é . - Assim
, e não .
Conclusão: b) é falsa.
Passo 5
Analisando c)
.
- Índice
(par). A raiz quarta principal de é o número não negativo cujo quarta potência é . - Verificar:
e , mas a raiz principal é o não negativo, isto é . - Logo
.
Conclusão: c) é verdadeira.
Passo 6
Analisando d)
.
- Primeiro calcule
. Como é raiz quadrada principal, . - Então o lado esquerdo é
. - A igualdade
é correta (ambos os lados valem ).
Conclusão: d) é verdadeira.
Passo 7
Analisando e)
.
- Índice
(ímpar). Procuramos o número real que ao elevar ao cubo dá . - Verificar:
. - Como a raiz cúbica principal de
é esse número , a igualdade é correta.
Conclusão: e) é verdadeira.
Passo 8
Analisando f)
.
- Para qualquer índice ímpar, a raiz enésima de
é , pois elevado a qualquer potência positiva é . - Verificar:
. - Logo
.
Conclusão: f) é verdadeira.
Passo 9
Analisando g)
.
- Observe que
. A raiz quadrada principal de um quadrado é o valor absoluto do radicando original: . - Aplicando com
(note que para todo ), temos: - Mas como
sempre, . - Portanto
para todo .
Conclusão: g) é verdadeira.
Passo 10
Analisando h)
.
- Aqui o índice é
(ímpar). Para ímpar vale a propriedade inversa simples: para todo . - Em particular,
para todo (ex.: se , ). - Não há necessidade de valor absoluto neste caso porque índices ímpares preservam sinal.
Conclusão: h) é verdadeira.
Resposta
a) V
b) F
c) V
d) V
e) V
f) V
g) V
h) V
b) F
c) V
d) V
e) V
f) V
g) V
h) V