Exemplo 26. Classifique em verdadeira (V) ou falsa (F) cada uma das sentenças abaixo:
a) \sqrt[3]{27}=3
b) \sqrt{4}= \pm 2
c) \sqrt[4]{1}=1
d) -\sqrt{9}=-3
e) \sqrt[3]{\frac{1}{8}}=\frac{1}{2}
f) \sqrt[3]{0}=0
g) \sqrt{\mathrm{x}^{4}}=\mathrm{x}^{2}, \forall \mathrm{x} \in \mathbb{R}
h) \sqrt[3]{x^{3}}=x, \forall x \in \mathbb{R}

Passo 1

O enunciado pede: classificar em verdadeira (V) ou falsa (F) cada uma das sentenças abaixo:
a) \sqrt[3]{27}=3
b) \sqrt{4}= \pm 2
c) \sqrt[4]{1}=1
d) -\sqrt{9}=-3
e) \sqrt[3]{\frac{1}{8}}=\frac{1}{2}
f) \sqrt[3]{0}=0
g) \sqrt{\mathrm{x}^{4}}=\mathrm{x}^{2}, \forall \mathrm{x} \in \mathbb{R}
h) \sqrt[3]{x^{3}}=x, \forall x \in \mathbb{R}
Informações relevantes dadas (explicitadas): cada expressão usa radiciação (raízes) e potências; precisamos saber como interpretar o símbolo de raiz (raiz principal) e as diferenças entre raízes de índice par (ex.: quadrada, quarta) e de índice ímpar (ex.: cúbica).

Passo 2

Conceitos-chave que vou usar (explicação didática e sem pular etapas):
  • Definição de raiz enésima principal: para um inteiro n\ge2 e um número real a, a notação \sqrt[n]{a} representa a raiz enésima principal de a.
    • Se n é par (por exemplo n=2,4,\dots), a raiz principal só está definida no conjunto dos a\ge0 (se quisermos número real) e sempre devolve um número não negativo. Ou seja, para n par, \sqrt[n]{a}\ge0.
    • Se n é ímpar (por exemplo n=3,5,\dots), a raiz enésima principal existe para todo a\in\mathbb{R} e pode ser negativa ou positiva conforme a.
  • Relação entre potências e raiz:
    • Em geral, \big(\sqrt[n]{a}\big)^n = a quando a raiz for definida (essa é uma forma de checar).
    • No sentido inverso, \sqrt[n]{a^n} nem sempre volta a a; depende do índice n:
      • Se n é par, \sqrt[n]{a^n}=|a|. Exemplo clássico: \sqrt{a^2}=|a|.
      • Se n é ímpar, \sqrt[n]{a^n}=a para todo a\in\mathbb{R}.
  • Lembrete sobre equações quadráticas: a equação x^2=4 tem duas soluções x=2 e x=-2. Isso é diferente da notação \sqrt{4}, que significa a raiz principal (apenas 2), não as duas soluções.
Vou aplicar essas ideias passo a passo às sentenças do enunciado.

Passo 3

Analisando a) \sqrt[3]{27}=3.
  • O índice da raiz é 3 (ímpar). Para raiz cúbica, existe exatamente um número real cuja terceira potência é 27.
  • Verificar: 3^3 = 3\cdot3\cdot3 = 27.
  • Como a raiz cúbica principal de 27 é o número real cuja terceira potência é 27, portanto \sqrt[3]{27}=3.
Conclusão: a) é verdadeira.

Passo 4

Analisando b) \sqrt{4}= \pm 2.
  • Aqui o símbolo \sqrt{\,\cdot\,} é raiz quadrada (índice 2, par). A raiz quadrada principal de 4 é o número não negativo cujo quadrado é 4.
  • Temos 2^2=4 e (-2)^2=4, então a equação x^2=4 tem as soluções x=2 e x=-2. Mas a notação \sqrt{4} não lista as soluções da equação; ela representa a raiz principal, que é 2.
  • Assim \sqrt{4}=2, e não \pm 2.
Conclusão: b) é falsa.

Passo 5

Analisando c) \sqrt[4]{1}=1.
  • Índice 4 (par). A raiz quarta principal de 1 é o número não negativo cujo quarta potência é 1.
  • Verificar: 1^4=1 e (-1)^4=1, mas a raiz principal é o não negativo, isto é 1.
  • Logo \sqrt[4]{1}=1.
Conclusão: c) é verdadeira.

Passo 6

Analisando d) -\sqrt{9}=-3.
  • Primeiro calcule \sqrt{9}. Como é raiz quadrada principal, \sqrt{9}=3.
  • Então o lado esquerdo é -\sqrt{9} = -3.
  • A igualdade -\sqrt{9}=-3 é correta (ambos os lados valem -3).
Conclusão: d) é verdadeira.

Passo 7

Analisando e) \sqrt[3]{\frac{1}{8}}=\frac{1}{2}.
  • Índice 3 (ímpar). Procuramos o número real que ao elevar ao cubo dá \dfrac{1}{8}.
  • Verificar: \left(\dfrac{1}{2}\right)^3 = \dfrac{1}{8}.
  • Como a raiz cúbica principal de \dfrac{1}{8} é esse número \dfrac{1}{2}, a igualdade é correta.
Conclusão: e) é verdadeira.

Passo 8

Analisando f) \sqrt[3]{0}=0.
  • Para qualquer índice ímpar, a raiz enésima de 0 é 0, pois 0 elevado a qualquer potência positiva é 0.
  • Verificar: 0^3=0.
  • Logo \sqrt[3]{0}=0.
Conclusão: f) é verdadeira.

Passo 9

Analisando g) \sqrt{\mathrm{x}^{4}}=\mathrm{x}^{2}, \forall \mathrm{x} \in \mathbb{R}.
  • Observe que \mathrm{x}^4 = (\mathrm{x}^2)^2. A raiz quadrada principal de um quadrado é o valor absoluto do radicando original: \sqrt{y^2}=|y|.
  • Aplicando com y=\mathrm{x}^2 (note que \mathrm{x}^2\ge0 para todo \mathrm{x}\in\mathbb{R}), temos: \sqrt{\mathrm{x}^{4}}=\sqrt{(\mathrm{x}^2)^2=}=|\mathrm{x}^2|.
  • Mas como \mathrm{x}^2\ge0 sempre, |\mathrm{x}^2|=\mathrm{x}^2.
  • Portanto \sqrt{\mathrm{x}^{4}}=\mathrm{x}^{2} para todo \mathrm{x}\in\mathbb{R}.
Conclusão: g) é verdadeira.

Passo 10

Analisando h) \sqrt[3]{x^{3}}=x, \forall x \in \mathbb{R}.
  • Aqui o índice é 3 (ímpar). Para n ímpar vale a propriedade inversa simples: \sqrt[n]{x^{n}}=x para todo x\in\mathbb{R}.
  • Em particular, \sqrt[3]{x^{3}}=x para todo x\in\mathbb{R} (ex.: se x=-2, \sqrt[3]{(-2)^3}=\sqrt[3]{-8}=-2).
  • Não há necessidade de valor absoluto neste caso porque índices ímpares preservam sinal.
Conclusão: h) é verdadeira.

Resposta

a) V
b) F
c) V
d) V
e) V
f) V
g) V
h) V

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