Dê o domínio e esboce o gráfico. y=\frac{1}{(1+x)^{2}}
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
Determinar o domínio da função y=\dfrac{1}{(1+x)^{2}}.
Esboçar o gráfico dessa função.
Informações dadas:
A função é y=\dfrac{1}{(1+x)^{2}}.
Não há outras restrições explícitas no enunciado.
Passo 2
Encontrar o domínio: lembrar do princípio básico: uma expressão racional tem domínio todos os reais, exceto onde o denominador é zero. Aqui o denominador é (1+x)^{2}.
Portanto x=-1 torna o denominador zero e deve ser excluído do domínio.
Logo o domínio é \mathbb{R}\setminus\{-1\}.
Passo 3
Interceptos e sinais (pontos chave):
Intercepto em y (quando x=0):
y\big|_{x=0}=\dfrac{1}{(1+0)^{2}}=\dfrac{1}{1}=1.
Logo a função passa por (0,1).
Intercepto em x (procurar y=0): \dfrac{1}{(1+x)^{2}}=0 não tem solução, porque o numerador é 1 (sempre positivo). Portanto não há raízes; a função nunca é zero.
Sinal: para todo x\neq-1 tem-se (1+x)^{2}>0, então y>0. A função é sempre positiva.
Passo 4
Assíntotas:
Vertical: como o denominador zera em x=-1 e a função tende a +\infty ao nos aproximarmos desse ponto, existe assíntota vertical em x=-1. Formalmente,
\lim_{x\to-1^\pm}\dfrac{1}{(1+x)^{2}}=+\infty.
Horizontal: analisar x\to\pm\infty. Como o grau do denominador é maior que o do numerador, a função tende a zero:
\lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{1}{(1+x)^{2}}=0.
Logo há assíntota horizontal em y=0.
Passo 5
Simetria e substituição útil: definir u=x+1. Então
y=\dfrac{1}{u^{2}}.
A função 1/u^{2} é par em u (ou seja, simétrica em relação a u=0). Isso implica que o gráfico de y é simétrico em relação à reta vertical x=-1. Em termos práticos: os pontos à mesma distância de x=-1 têm o mesmo valor de y.
Passo 6
Monotonicidade (como a curva cresce/decai em cada ramo): calcular a derivada para entender o comportamento.
Se x>-1 então 1+x>0 e (1+x)^{-3}>0, logo y'=-2(1+x)^{-3}<0. Portanto a função é estritamente decrescente em (-1,\infty).
Se x<-1 então 1+x<0 e (1+x)^{-3}<0, logo y'=-2(1+x)^{-3}>0. Portanto a função é estritamente crescente em (-\infty,-1).
Interpretação geométrica: no ramo à esquerda de x=-1 a curva sobe (quando vamos para a direita) de 0 (quando x\to-\infty) até +\infty (quando x\to-1^-). No ramo à direita de x=-1 a curva desce de +\infty (quando x\to-1^+) para 0 (quando x\to+\infty).
Passo 7
Concavidade e pontos de inflexão: calcular a segunda derivada.
Como (1+x)^{-4}>0 para todo x\neq-1, tem-se y''>0 em ambos os intervalos. Logo a curva é côncava para cima em (-\infty,-1) e em (-1,\infty). Não há pontos de inflexão (segunda derivada não muda de sinal).
Passo 8
Pontos numéricos úteis para desenhar (usar simetria em x=-1):
x=0 \Rightarrow y=1. (ponto (0,1))
x=-2 \Rightarrow y=\dfrac{1}{(-1)^{2}}=1. (ponto (-2,1)) — confirma simetria com (0,1).
Perto da assíntota: por exemplo x=-0{,}9\Rightarrow y=\dfrac{1}{0{,}1^{2}}=100 (mostra que a curva sobe muito quando se aproxima de -1).
Passo 9
Como esboçar o gráfico (passo a passo prático para a prova):
Desenhar os eixos. Marcar a assíntota vertical x=-1 com uma linha tracejada e a assíntota horizontal y=0.
Marcar os pontos calculados: (-2,1), (0,1), (-3,\tfrac{1}{4}), (1,\tfrac{1}{4}), (2,\tfrac{1}{9}), etc.
No lado esquerdo (x<-1): desenhar uma curva côncava para cima que vem de y\to0^{+} quando x\to-\infty, passa pelos pontos marcados (-4,1/9, -3,1/4, -2,1) e sobe para +\infty quando x\to-1^{-}.
No lado direito (x>-1): desenhar a imagem espelhada em relação a x=-1: a curva sai de +\infty em x\to-1^{+}, passa por (0,1), (1,1/4), (2,1/9) e tende a 0 quando x\to+\infty.
Lembrar: a curva fica sempre acima do eixo x (nunca cruza y=0) e é simétrica em relação à reta x=-1. Traços devem ficar cada vez mais próximos de y=0 à medida que |x| cresce.
Dica motivadora: com as assíntotas, três pontos em cada ramo e a noção de concavidade já dá um esboço rapidinho e bem convincente na prova — não precisa desenhar valores extremos como 100, basta saber que explode perto de x=-1.
Resposta
Domínio: \mathbb{R}\setminus\{-1\}
Esboço: assíntota vertical x=-1, assíntota horizontal y=0; dois ramos simétricos em relação a x=-1, ambos positivos, crescendo em (-\infty,-1) de 0 a +\infty e decrescendo em (-1,\infty) de +\infty a 0. Pontos de referência: (-2,1), (0,1), (-3,\tfrac{1}{4}), (1,\tfrac{1}{4}), (2,\tfrac{1}{9}).