Dê o domínio e esboce o gráfico.
y=\frac{1}{(1+x)^{2}}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Determinar o domínio da função y=\dfrac{1}{(1+x)^{2}}.
  • Esboçar o gráfico dessa função.
Informações dadas:
  • A função é y=\dfrac{1}{(1+x)^{2}}.
  • Não há outras restrições explícitas no enunciado.

Passo 2

Encontrar o domínio: lembrar do princípio básico: uma expressão racional tem domínio todos os reais, exceto onde o denominador é zero. Aqui o denominador é (1+x)^{2}.
Resolver (1+x)^{2}=0:
(1+x)^{2}=0 \quad\Longrightarrow\quad 1+x=0 \quad\Longrightarrow\quad x=-1.
Portanto x=-1 torna o denominador zero e deve ser excluído do domínio.
Logo o domínio é \mathbb{R}\setminus\{-1\}.

Passo 3

Interceptos e sinais (pontos chave):
  • Intercepto em y (quando x=0):
y\big|_{x=0}=\dfrac{1}{(1+0)^{2}}=\dfrac{1}{1}=1.
Logo a função passa por (0,1).
  • Intercepto em x (procurar y=0): \dfrac{1}{(1+x)^{2}}=0 não tem solução, porque o numerador é 1 (sempre positivo). Portanto não há raízes; a função nunca é zero.
  • Sinal: para todo x\neq-1 tem-se (1+x)^{2}>0, então y>0. A função é sempre positiva.

Passo 4

Assíntotas:
  • Vertical: como o denominador zera em x=-1 e a função tende a +\infty ao nos aproximarmos desse ponto, existe assíntota vertical em x=-1. Formalmente,
\lim_{x\to-1^\pm}\dfrac{1}{(1+x)^{2}}=+\infty.
  • Horizontal: analisar x\to\pm\infty. Como o grau do denominador é maior que o do numerador, a função tende a zero:
\lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{1}{(1+x)^{2}}=0.
Logo há assíntota horizontal em y=0.

Passo 5

Simetria e substituição útil: definir u=x+1. Então
y=\dfrac{1}{u^{2}}.
A função 1/u^{2} é par em u (ou seja, simétrica em relação a u=0). Isso implica que o gráfico de y é simétrico em relação à reta vertical x=-1. Em termos práticos: os pontos à mesma distância de x=-1 têm o mesmo valor de y.

Passo 6

Monotonicidade (como a curva cresce/decai em cada ramo): calcular a derivada para entender o comportamento.
y=(1+x)^{-2}\quad\Rightarrow\quad y'=-2(1+x)^{-3}.
Analisar o sinal de y':
  • Se x>-1 então 1+x>0 e (1+x)^{-3}>0, logo y'=-2(1+x)^{-3}<0. Portanto a função é estritamente decrescente em (-1,\infty).
  • Se x<-1 então 1+x<0 e (1+x)^{-3}<0, logo y'=-2(1+x)^{-3}>0. Portanto a função é estritamente crescente em (-\infty,-1).
Interpretação geométrica: no ramo à esquerda de x=-1 a curva sobe (quando vamos para a direita) de 0 (quando x\to-\infty) até +\infty (quando x\to-1^-). No ramo à direita de x=-1 a curva desce de +\infty (quando x\to-1^+) para 0 (quando x\to+\infty).

Passo 7

Concavidade e pontos de inflexão: calcular a segunda derivada.
y'' = \dfrac{d}{dx}\bigl(-2(1+x)^{-3}\bigr) = 6(1+x)^{-4}.
Como (1+x)^{-4}>0 para todo x\neq-1, tem-se y''>0 em ambos os intervalos. Logo a curva é côncava para cima em (-\infty,-1) e em (-1,\infty). Não há pontos de inflexão (segunda derivada não muda de sinal).

Passo 8

Pontos numéricos úteis para desenhar (usar simetria em x=-1):
  • x=0 \Rightarrow y=1. (ponto (0,1))
  • x=-2 \Rightarrow y=\dfrac{1}{(-1)^{2}}=1. (ponto (-2,1)) — confirma simetria com (0,1).
  • x=1 \Rightarrow y=\dfrac{1}{(2)^{2}}=\dfrac{1}{4}. (ponto (1,\tfrac{1}{4}))
  • x=-3 \Rightarrow y=\dfrac{1}{(-2)^{2}}=\dfrac{1}{4}. (ponto (-3,\tfrac{1}{4}))
  • x=2 \Rightarrow y=\dfrac{1}{9}\approx0{,}111. x=-4\Rightarrow y=\dfrac{1}{9} (simetria).
  • Perto da assíntota: por exemplo x=-0{,}9\Rightarrow y=\dfrac{1}{0{,}1^{2}}=100 (mostra que a curva sobe muito quando se aproxima de -1).

Passo 9

Como esboçar o gráfico (passo a passo prático para a prova):
  1. Desenhar os eixos. Marcar a assíntota vertical x=-1 com uma linha tracejada e a assíntota horizontal y=0.
  2. Marcar os pontos calculados: (-2,1), (0,1), (-3,\tfrac{1}{4}), (1,\tfrac{1}{4}), (2,\tfrac{1}{9}), etc.
  3. No lado esquerdo ( x<-1): desenhar uma curva côncava para cima que vem de y\to0^{+} quando x\to-\infty, passa pelos pontos marcados ( -4,1/9, -3,1/4, -2,1) e sobe para +\infty quando x\to-1^{-}.
  4. No lado direito ( x>-1): desenhar a imagem espelhada em relação a x=-1: a curva sai de +\infty em x\to-1^{+}, passa por (0,1), (1,1/4), (2,1/9) e tende a 0 quando x\to+\infty.
  5. Lembrar: a curva fica sempre acima do eixo x (nunca cruza y=0) e é simétrica em relação à reta x=-1. Traços devem ficar cada vez mais próximos de y=0 à medida que |x| cresce.
Dica motivadora: com as assíntotas, três pontos em cada ramo e a noção de concavidade já dá um esboço rapidinho e bem convincente na prova — não precisa desenhar valores extremos como 100, basta saber que explode perto de x=-1.

Resposta

Domínio: \mathbb{R}\setminus\{-1\}
Esboço: assíntota vertical x=-1, assíntota horizontal y=0; dois ramos simétricos em relação a x=-1, ambos positivos, crescendo em (-\infty,-1) de 0 a +\infty e decrescendo em (-1,\infty) de +\infty a 0. Pontos de referência: (-2,1), (0,1), (-3,\tfrac{1}{4}), (1,\tfrac{1}{4}), (2,\tfrac{1}{9}).

Exercícios relacionados