Seja n \in \mathbb{Z} e a \in \mathbb{R}^{*}, simplifique.
a^{2 n+1} \cdot a^{1-n} \cdot a^{3-n}

Passo 1

O enunciado pede que se simplifique o produto de potências
a^{2n+1}\cdot a^{1-n}\cdot a^{3-n},
onde n\in\mathbb{Z} e a\in\mathbb{R}^{*} (ou seja, a\neq0). As informações relevantes são:
  • Há três fatores com a mesma base a.
  • Os expoentes são expressões em n: 2n+1, 1-n e 3-n.
  • A condição a\neq0 permite usar regras com expoentes inteiros negativos se necessário.

Passo 2

Regra que vamos usar (lembrando cada símbolo): para quaisquer números reais a\neq0 e quaisquer expoentes r,s (aqui inteiros, mas a lei vale em muita generalidade),
a^{r}\cdot a^{s}=a^{r+s}.
Explicação: multiplicar potências de mesma base é o mesmo que somar os expoentes. O motivo prático é que a^{r} significa multiplicar a por si r vezes, e a^{s} significa multiplicar a por si s vezes; juntando as multiplicações obtém-se r+s fatores a.

Passo 3

Aplicando a regra direta aos três fatores (pois todos têm base a), podemos somar os três expoentes:
a^{2n+1}\cdot a^{1-n}\cdot a^{3-n}=a^{(2n+1)+(1-n)+(3-n)}.
Aqui usamos que multiplicar três potências é análogo a somar todos os expoentes juntos.

Passo 4

Agora vamos somar os expoentes passo a passo, mostrando cada operação:
(2n+1)+(1-n)+(3-n).
Primeiro, junte os termos com n:
2n + (-n) + (-n) = 2n - n - n = 0.
Agora some os termos constantes:
1 + 1 + 3 = 5.
Somando tudo:
(2n+1)+(1-n)+(3-n)=0+5=5.

Passo 5

Substituindo o resultado da soma dos expoentes de volta na potência, obtemos:
a^{(2n+1)+(1-n)+(3-n)}=a^{5}.
Observação prática: a simplificação não depende do valor inteiro específico de n porque os termos em n se cancelaram; a hipótese a\neq0 garante que a expressão inicial esteja bem definida mesmo se algum expoente for negativo.

Passo 6

Cheque rápido com um exemplo numérico para ganhar confiança. Escolhendo a=2 e n=1:
2^{2\cdot1+1}\cdot 2^{1-1}\cdot 2^{3-1}=2^{3}\cdot 2^{0}\cdot 2^{2}=8\cdot1\cdot4=32=2^{5}.
Funciona como esperado.

Resposta

a^{5}

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