Dê o domínio e esboce os gráficos das funções dadas.
f(x)=-x^{2}+2 x+1

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Dar o domínio da função f(x)=-x^{2}+2x+1.
  • Esboçar o gráfico dessa função (ou seja, identificar os pontos e características essenciais para desenhá-lo).
Informações relevantes fornecidas pela função:
f(x)=-x^{2}+2x+1.
Os coeficientes são a=-1, b=2 e c=1.

Passo 2

Domínio: explicar o que é e como identificar.
O domínio de uma função são todos os valores de x para os quais a expressão faz sentido. Polinômios (somente somas e produtos de potências de x com coeficientes) estão definidos para todo número real. A função dada é um polinômio de segundo grau, logo seu domínio é todo o conjunto dos números reais:
\text{Dom}(f)=\mathbb{R}.

Passo 3

Encontrar a forma vértice (completar o quadrado) — por que isso ajuda no esboço.
A forma vértice é útil porque escreve a parábola como a(x-h)^2+k, onde (h,k) é o vértice (ponto máximo ou mínimo). Vamos transformar f(x) para essa forma.
Começo factorando o sinal:
f(x)=-x^{2}+2x+1=-\bigl(x^{2}-2x-1\bigr).
Agora completo o quadrado dentro do parêntese. Calculo (x-1)^2:
(x-1)^2=x^{2}-2x+1.
Para obter x^{2}-2x-1 a partir de (x-1)^2 subtraio 2:
x^{2}-2x-1=(x-1)^2-2.
Substituindo:
f(x)=-\bigl((x-1)^2-2\bigr)=- (x-1)^2 + 2.
Logo a forma vértice é
f(x)=- (x-1)^2 + 2.

Passo 4

Interpretar a forma vértice: vértice, abertura e máximo/mínimo.
Na forma f(x)=a(x-h)^2+k o vértice é (h,k) e:
  • Se a>0 a parábola abre para cima (vértice mínimo).
  • Se a<0 a parábola abre para baixo (vértice máximo).
Aqui a=-1<0, h=1 e k=2. Portanto:
  • Vértice: (1,2).
  • A parábola abre para baixo e o vértice é o ponto de máximo com valor máximo f(1)=2.
  • Eixo de simetria: a reta vertical x=1.

Passo 5

Encontrar as raízes (interseções com o eixo x).
Resolvo f(x)=0:
-x^{2}+2x+1=0.
Multiplico por -1:
x^{2}-2x-1=0.
Uso a fórmula quadrática \displaystyle x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} aplicada em x^{2}-2x-1=0, onde a=1, b=-2, c=-1. Mas uma maneira mais direta, neste caso, é reconhecer os coeficientes originais: usando a=1, b=-2
x=\frac{2\pm\sqrt{(-2)^{2}-4\cdot1\cdot(-1)}}{2}=\frac{2\pm\sqrt{4+4}}{2}=\frac{2\pm\sqrt{8}}{2}.
Simplificando \sqrt{8}=2\sqrt{2}:
x=\frac{2\pm 2\sqrt{2}}{2}=1\pm\sqrt{2}.
Portanto as raízes são
x=1+\sqrt{2}\quad\text{e}\quad x=1-\sqrt{2}.
Aproximações numéricas úteis: \sqrt{2}\approx1{,}414, logo as raízes valem aproximadamente 2{,}414 e -0{,}414.

Passo 6

Interseção com o eixo y e alguns pontos de referência para desenhar.
O ponto onde a parábola corta o eixo y é f(0):
f(0)=-0^{2}+2\cdot0+1=1,
então o ponto é (0,1).
Como a parábola é simétrica em relação a x=1, o ponto simétrico a (0,1) é (2,1); verifiquemos f(2):
f(2)=-4+4+1=1.
Vamos calcular mais alguns pontos para garantir o esboço:
f(-1)=-(-1)^2+2(-1)+1=-1-2+1=-2,
então (-1,-2).
f(3)=-9+6+1=-2,
então (3,-2).
Resumo de pontos fáceis para marcar:
(-1,-2),\quad (0,1),\quad (1,2)\\ (\text{vértice}),\quad (2,1),\quad (3,-2).é

Passo 7

Interpretação geométrica em termos de transformação de gráficos (dica para desenhar rápido).
A expressão f(x)=-(x-1)^2+2 pode ser vista a partir da parábola básica y=-x^2:
  • Primeiro transfere-se 1 unidade para a direita (substituir x por x-1).
  • Depois sobe-se 2 unidades (somar +2).
    Portanto, pegue o gráfico de y=-x^2, mova-o 1 para a direita e 2 para cima — isso já dá o esboço.

Passo 8

Como esboçar na prática (passo a passo para fazer na prova ou no caderno):
  1. Desenhe o eixo x e y.
  2. Marque o eixo de simetria x=1.
  3. Marque o vértice (1,2).
  4. Marque as raízes \bigl(1\pm\sqrt{2},\,0\bigr), aproximadamente (-0{,}414,0) e (2{,}414,0).
  5. Marque o ponto y-intercept (0,1) e seu simétrico (2,1).
  6. Marque mais um par de pontos simétricos, por exemplo (-1,-2) e (3,-2).
  7. Ligue tudo com uma curva suave em forma de U invertido (abertura para baixo), passando por esses pontos e tendo máximo em (1,2).
Pronto — com esses pontos e a indicação da abertura para baixo o esboço fica correto e rápido de fazer.

Resposta

Domínio: \mathbb{R}
Gráfico: parábola com vértice em (1,2), abre para baixo ( a=-1), eixo de simetria x=1, raízes em x=1\pm\sqrt{2} (aprox. -0{,}414 e 2{,}414), intercepto em y em (0,1).

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