Dê o domínio e esboce os gráficos das funções dadas.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- Dar o domínio da função
. - Esboçar o gráfico dessa função (ou seja, identificar os pontos e características essenciais para desenhá-lo).
Informações relevantes fornecidas pela função:
Os coeficientes são
,
e
.
Passo 2
Domínio: explicar o que é e como identificar.
O domínio de uma função são todos os valores de para os quais a expressão faz sentido. Polinômios (somente somas e produtos de potências de
com coeficientes) estão definidos para todo número real. A função dada é um polinômio de segundo grau, logo seu domínio é todo o conjunto dos números reais:
O domínio de uma função são todos os valores de
Passo 3
Encontrar a forma vértice (completar o quadrado) — por que isso ajuda no esboço.
A forma vértice é útil porque escreve a parábola como , onde
é o vértice (ponto máximo ou mínimo). Vamos transformar
para essa forma.
A forma vértice é útil porque escreve a parábola como
Começo factorando o sinal:
Agora completo o quadrado dentro do parêntese. Calculo
:
Para obter
a partir de
subtraio
:
Substituindo:
Logo a forma vértice é
Passo 4
Interpretar a forma vértice: vértice, abertura e máximo/mínimo.
Na forma o vértice é
e:
Na forma
- Se
a parábola abre para cima (vértice mínimo). - Se
a parábola abre para baixo (vértice máximo).
Aqui
,
e
. Portanto:
- Vértice:
. - A parábola abre para baixo e o vértice é o ponto de máximo com valor máximo
. - Eixo de simetria: a reta vertical
.
Passo 5
Encontrar as raízes (interseções com o eixo
).
Resolvo :
Resolvo
Multiplico por
:
Uso a fórmula quadrática
aplicada em
, onde
,
,
. Mas uma maneira mais direta, neste caso, é reconhecer os coeficientes originais: usando
,
dá
Simplificando
:
Portanto as raízes são
Aproximações numéricas úteis:
, logo as raízes valem aproximadamente
e
.
Passo 6
Interseção com o eixo
e alguns pontos de referência para desenhar.
O ponto onde a parábola corta o eixo é
:
O ponto onde a parábola corta o eixo
então o ponto é
.
Como a parábola é simétrica em relação a
, o ponto simétrico a
é
; verifiquemos
:
Vamos calcular mais alguns pontos para garantir o esboço:
então
.
então
.
Resumo de pontos fáceis para marcar:
Resumo de pontos fáceis para marcar:
Passo 7
Interpretação geométrica em termos de transformação de gráficos (dica para desenhar rápido).
A expressão pode ser vista a partir da parábola básica
:
A expressão
- Primeiro transfere-se 1 unidade para a direita (substituir
por ). - Depois sobe-se 2 unidades (somar
).
Portanto, pegue o gráfico de, mova-o 1 para a direita e 2 para cima — isso já dá o esboço.
Passo 8
Como esboçar na prática (passo a passo para fazer na prova ou no caderno):
- Desenhe o eixo
e . - Marque o eixo de simetria
. - Marque o vértice
. - Marque as raízes
, aproximadamente e . - Marque o ponto
-intercept e seu simétrico . - Marque mais um par de pontos simétricos, por exemplo
e . - Ligue tudo com uma curva suave em forma de U invertido (abertura para baixo), passando por esses pontos e tendo máximo em
.
Pronto — com esses pontos e a indicação da abertura para baixo o esboço fica correto e rápido de fazer.
Resposta
Domínio:
Gráfico: parábola com vértice em , abre para baixo (
), eixo de simetria
, raízes em
(aprox.
e
), intercepto em
em
.
Gráfico: parábola com vértice em