Simplifique as expressões.
\frac{x}{\sqrt[3]{x^{2}}}

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a expressão
\displaystyle \frac{x}{\sqrt[3]{x^{2}}}.
Vou listar o que temos de informação imediatamente útil:
  • Numerador: \,x\,.
  • Denominador: \,\sqrt[3]{x^{2}}\,, ou seja, a raiz cúbica de x^{2}.
    A tarefa é reescrever essa fração de forma mais simples (usando potências ou radicais equivalentes), lembrando de cuidar da definição (valores de x que tornam a expressão válida).

Passo 2

Entendendo o domínio: a raiz cúbica de x^{2} está bem definida para todo x\in\mathbb{R} porque x^{2}\ge0 e raiz cúbica de número não-negativo é definida. Contudo, quando x=0 temos denominador zero:
\sqrt[3]{0^{2}}=\sqrt[3]{0}=0,
logo a expressão original \dfrac{x}{\sqrt[3]{x^{2}}} fica com forma \dfrac{0}{0}, isto é, indefinida. Portanto, devemos considerar que, no processo de simplificação, a identidade que obtivermos só é válida para x\ne0. Vou lembrar disso durante a simplificação.

Passo 3

Passar do radical para potências fracionárias: por definição
\displaystyle \sqrt[3]{x^{2}}=(x^{2})^{\tfrac{1}{3}}.
É comum também escrever isso como x^{\tfrac{2}{3}}, observando que para números reais a manipulação com expoentes fracionários exige cuidado com o sinal, mas aqui não há problema para x\ne0. Reescrevo a expressão usando potências:
\frac{x}{\sqrt[3]{x^{2}}}=\frac{x}{(x^{2})^{\tfrac{1}{3}}}.

Passo 4

Expressar o numerador como potência também: x = x^{1}. Assim a fração fica
\frac{x^{1}}{(x^{2})^{\tfrac{1}{3}}}.

Passo 5

Usar a identidade de potências (a^{b})^{c}=a^{bc} (válida para a\ne0 no contexto real que estamos tratando). Aplicando-a ao denominador:
(x^{2})^{\tfrac{1}{3}} = x^{2\cdot\tfrac{1}{3}} = x^{\tfrac{2}{3}}.
Portanto:
\frac{x^{1}}{(x^{2})^{\tfrac{1}{3}}}=\frac{x^{1}}{x^{\tfrac{2}{3}}}.

Passo 6

Agora aplicar a regra de divisão de potências com mesma base: x^{a}/x^{b}=x^{a-b} (para x\ne0). Subtraindo os expoentes:
x^{1 - \tfrac{2}{3}} = x^{\tfrac{1}{3}}.
Assim a forma simplificada em potência é x^{\tfrac{1}{3}}, que também equivale à raiz cúbica de x, isto é, \sqrt[3]{x}.

Passo 7

Verificação de consistência e exemplo numérico: para x>0 tudo é óbvio. Para x<0 vale também porque a raiz cúbica é uma função ímpar (por exemplo, para x=-8:
\displaystyle \frac{-8}{\sqrt[3]{(-8)^{2}}}=\frac{-8}{\sqrt[3]{64}}=\frac{-8}{4}=-2
e \sqrt[3]{-8}=-2; coincidem). Relembro que a derivação usou propriedades de potências que exigem x\ne0, então a igualdade é válida para todos os x reais diferentes de zero.

Resposta

\sqrt[3]{x},\quad x\ne 0

Exercícios relacionados