Simplifique as expressões.
Passo 1
O enunciado pede para simplificar a expressão
.
Vou listar o que temos de informação imediatamente útil:
Vou listar o que temos de informação imediatamente útil:
- Numerador:
. - Denominador:
, ou seja, a raiz cúbica de .
A tarefa é reescrever essa fração de forma mais simples (usando potências ou radicais equivalentes), lembrando de cuidar da definição (valores deque tornam a expressão válida).
Passo 2
Entendendo o domínio: a raiz cúbica de
está bem definida para todo
porque
e raiz cúbica de número não-negativo é definida. Contudo, quando
temos denominador zero:
,
logo a expressão original fica com forma
, isto é, indefinida. Portanto, devemos considerar que, no processo de simplificação, a identidade que obtivermos só é válida para
. Vou lembrar disso durante a simplificação.
logo a expressão original
Passo 3
Passar do radical para potências fracionárias: por definição
.
É comum também escrever isso como , observando que para números reais a manipulação com expoentes fracionários exige cuidado com o sinal, mas aqui não há problema para
. Reescrevo a expressão usando potências:
É comum também escrever isso como
Passo 4
Expressar o numerador como potência também:
. Assim a fração fica
Passo 5
Usar a identidade de potências
(válida para
no contexto real que estamos tratando). Aplicando-a ao denominador:
Portanto:
Passo 6
Agora aplicar a regra de divisão de potências com mesma base:
(para
). Subtraindo os expoentes:
Assim a forma simplificada em potência é
, que também equivale à raiz cúbica de
, isto é,
.
Passo 7
Verificação de consistência e exemplo numérico: para
tudo é óbvio. Para
vale também porque a raiz cúbica é uma função ímpar (por exemplo, para
:
e ; coincidem). Relembro que a derivação usou propriedades de potências que exigem
, então a igualdade é válida para todos os
reais diferentes de zero.
e