Simplifique as expressões.
\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a expressão
\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}.
Informações dadas:
  • Numerador: \sqrt{5}+\sqrt{3}.
  • Denominador: \sqrt{5}-\sqrt{3}.
    A tarefa é reescrever essa fração de forma mais simples (sem raiz no denominador, se possível).

Passo 2

Ideia do método (explicação didática): quando o denominador é da forma \sqrt{a}-\sqrt{b} é comum multiplicar numerador e denominador pela sua conjugada \sqrt{a}+\sqrt{b}. A “conjugada” troca o sinal entre os termos. Multiplicar por \dfrac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} equivale a multiplicar por 1, então não altera o valor da expressão, mas o produto do denominador pela conjugada elimina as raízes graças à identidade
(\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b})=\sqrt{a}^{\,2}-\sqrt{b}^{\,2}=a-b.

Passo 3

Multiplicamos numerador e denominador pela conjugada \sqrt{5}+\sqrt{3}:
\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}} = \frac{(\sqrt{5}+\sqrt{3})^2}{(\sqrt{5}-\sqrt{3})(\sqrt{5}+\sqrt{3})}.

Passo 4

Calculamos o numerador usando a fórmula (a+b)^2=a^2+2ab+b^2. Tomando a=\sqrt{5} e b=\sqrt{3}:
(\sqrt{5}+\sqrt{3})^2 = (\sqrt{5})^2 + 2\sqrt{5}\sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = 5 + 2\sqrt{15} + 3 = 8 + 2\sqrt{15}.

Passo 5

Calculamos o denominador usando (a-b)(a+b)=a^2-b^2:
(\sqrt{5}-\sqrt{3})(\sqrt{5}+\sqrt{3}) = (\sqrt{5})^2 - (\sqrt{3})^2 = 5 - 3 = 2.

Passo 6

Substituindo os resultados:
\frac{(\sqrt{5}+\sqrt{3})^2}{(\sqrt{5}-\sqrt{3})(\sqrt{5}+\sqrt{3})} = \frac{8 + 2\sqrt{15}}{2}.
Fatorando 2 no numerador e cancelando com o denominador:
\frac{8 + 2\sqrt{15}}{2} = \frac{2(4+\sqrt{15})}{2} = 4 + \sqrt{15}.

Passo 7

Verificação rápida (controle): aproximando numericamente,
\sqrt{5}\approx2{,}236, \sqrt{3}\approx1{,}732, então a expressão original vale aproximadamente
\dfrac{2{,}236+1{,}732}{2{,}236-1{,}732}\approx\dfrac{3{,}968}{0{,}504}\approx7{,}873.
E 4+\sqrt{15}\approx4+3{,}873=7{,}873, coincide — boa checagem.

Resposta

4+\sqrt{15}

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