Simplifique as expressões.
\frac{1}{\sqrt[3]{9}+\sqrt[3]{6}+\sqrt[3]{4}}

Passo 1

O que o problema pede: simplificar a expressão
\frac{1}{\sqrt[3]{9}+\sqrt[3]{6}+\sqrt[3]{4}}.
Informações dadas: os radicais são cubicos de 9, 6 e 4. Não há outras condições.

Passo 2

Vamos fazer uma substituição que deixa a expressão mais clara. Defina
x=\sqrt[3]{2},\qquad y=\sqrt[3]{3}.
Com isso:
\sqrt[3]{4}=x^{2},\qquad \sqrt[3]{6}=xy,\qquad \sqrt[3]{9}=y^{2}.
Portanto o denominador fica
y^{2}+xy+x^{2}.

Passo 3

Vamos usar uma identidade algébrica clássica: para quaisquer x,y vale
x^{3}-y^{3}=(x-y)(x^{2}+xy+y^{2}).
Essa identidade vem da fatoração da diferença de cubos; se expandir o produto à direita recupera x^{3}-y^{3}.

Passo 4

Reescrevendo a identidade isolando x^{2}+xy+y^{2}, obtemos
x^{2}+xy+y^{2}=\frac{x^{3}-y^{3}}{x-y}.
No nosso caso x^{3}=2 e y^{3}=3, logo
x^{2}+xy+y^{2}=\frac{2-3}{x-y}=\frac{-1}{x-y}=\frac{1}{y-x}.
Multiplicando ambos os lados por y-x dá também
\bigl(x^{2}+xy+y^{2}\bigr)(y-x)=y^{3}-x^{3}=3-2=1,
ou seja o número y-x é o inverso de x^{2}+xy+y^{2}.

Passo 5

Voltando à expressão original, temos
\frac{1}{\sqrt[3]{9}+\sqrt[3]{6}+\sqrt[3]{4}}=\frac{1}{y^{2}+xy+x^{2}}=y-x=\sqrt[3]{3}-\sqrt[3]{2}.

Resposta

\sqrt[3]{3}-\sqrt[3]{2}

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