A inequação x^{2}-4 \geqslant 0 tem solução:
(a) ]-2,2[,
(b) ]-\infty,-2[\cup] 2,+\infty[,
(c) ]-\infty,-2] \cup[2,+\infty[
(d) [-2,2]

Passo 1

O enunciado nos dá a inequação
x^{2}-4 \geqslant 0
A pergunta é: qual é o conjunto de todos os x que satisfazem essa desigualdade? As alternativas disponíveis são (a), (b), (c) e (d) como no enunciado.

Passo 2

Primeiro passo técnico: fatorar a expressão quadrática para identificar as raízes. Usamos a identidade de diferença de quadrados:
x^{2}-4 = x^{2}-2^{2} = (x-2)(x+2).
Isso mostra que a expressão é produto de dois fatores lineares.

Passo 3

Determinar onde o polinômio é zero (as raízes). Igualando a zero:
(x-2)(x+2)=0
Logo as raízes são x=2 e x=-2. Esses pontos dividem a reta em três intervalos onde o sinal do produto pode ser testado.

Passo 4

Vamos analisar o sinal de (x-2)(x+2) em cada intervalo determinado pelas raízes. Os intervalos são:
\;]-\infty,-2[,\quad ]-2,2[\quad\text{e}\quad ]2,+\infty[.
Escolhemos um ponto de teste em cada intervalo e calculamos x^{2}-4.
  • No intervalo ]-\infty,-2[ tome x=-3. Então
(-3)^{2}-4 = 9-4 = 5>0,
portanto a expressão é positiva nesse intervalo.
  • No intervalo ]-2,2[ tome x=0. Então
0^{2}-4 = -4<0,
portanto a expressão é negativa nesse intervalo.
  • No intervalo ]2,+\infty[ tome x=3. Então
3^{2}-4 = 9-4 = 5>0,
portanto a expressão é positiva nesse intervalo.

Passo 5

Como a desigualdade é \geqslant 0 (maior ou igual a zero), incluímos também os pontos onde a expressão vale zero, isto é x=-2 e x=2. Juntando tudo: a expressão é não negativa para x em
]-\infty,-2] \cup [2,+\infty[.

Passo 6

Comparando com as alternativas dadas, a que coincide com esse resultado é a alternativa (c).

Resposta

(c) ]-\infty,-2] \cup [2,+\infty[

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