O gráfico de f(x)=\sqrt{x} é definido:
(a) para todo x \in \mathbb{R}
(b) apenas para x>0
(c) para x \geqslant 0 e crescente no primeiro quadrante
(d) apenas para x<0

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=\sqrt{x} e apresenta quatro alternativas sobre onde ela está definida e se é crescente. As alternativas são:
(a) para todo x \in \mathbb{R}
(b) apenas para x>0
(c) para x \geqslant 0 e crescente no primeiro quadrante
(d) apenas para x<0
O que é pedido: escolher qual alternativa descreve corretamente o domínio e o comportamento de crescimento do gráfico de f(x)=\sqrt{x}.

Passo 2

Entendendo o domínio: por definição, a expressão \sqrt{x} (a raiz quadrada principal) só faz sentido nos reais quando o radicando é não negativo. Para ver isso com clareza, suponha que exista um número real y tal que y=\sqrt{x}. Então vale
y^2=x.
Como y^2\geqslant0 para todo y\in\mathbb{R}, necessariamente x\geqslant0. Logo qualquer x na imagem real que admite uma raiz quadrada real deve satisfazer x\geqslant0.

Passo 3

Mostrar que x=0 está incluso: tomar x=0 y=0 porque 0^2=0. Portanto \sqrt{0}=0 está bem definido. Conclusão parcial sobre domínio: o domínio de f em \mathbb{R} é
[0,\infty).
Isto já permite eliminar as alternativas (a), (b) e (d):
  • (a) é falsa porque não existe raiz real de números negativos;
  • (b) é falsa porque exclui x=0, mas \sqrt{0} existe;
  • (d) é falsa porque a raiz não está definida para x<0.

Passo 4

Provar que a função é crescente no primeiro quadrante (isto é, em x\geqslant0, com valores y\geqslant0) sem usar derivada: pegue 0\leqslant a<b. Considere a diferença
\sqrt{b}-\sqrt{a}.
Usando a identidade \,u-v=\dfrac{u^2-v^2}{u+v}\, com u=\sqrt{b} e v=\sqrt{a}, obtemos
\sqrt{b}-\sqrt{a}=\frac{b-a}{\sqrt{b}+\sqrt{a}}.
Aqui \sqrt{b}+\sqrt{a}>0 porque a,b\geqslant0 e b>a implica b-a>0. Portanto a fração é positiva, isto é,
\sqrt{b}-\sqrt{a}>0.
Isto prova que sempre que a<b (ambos não negativos) temos \sqrt{a}<\sqrt{b}: a função é estritamente crescente em (0,\infty) e, considerando 0, não decresce em [0,\infty). Assim o gráfico está no primeiro quadrante e sobe quando x aumenta.
(Observação rápida com cálculo: se usar derivada, f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}>0 para x>0, reforçando o mesmo resultado.)

Passo 5

Resumo final da resolução lógica: o domínio é [0,\infty), a função é bem definida em x=0 e é crescente para x>0, portanto vive no primeiro quadrante e é crescente lá. Assim a alternativa correta é a que afirma exatamente isso.

Resposta

(c) para x \geqslant 0 e crescente no primeiro quadrante

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