O gráfico de
é definido:
(a) para todo
(b) apenas para
(c) para
e crescente no primeiro quadrante
(d) apenas para
(a) para todo
(b) apenas para
(c) para
(d) apenas para
Passo 1
O enunciado dá a função
e apresenta quatro alternativas sobre onde ela está definida e se é crescente. As alternativas são:
(a) para todo
(b) apenas para
(c) para
e crescente no primeiro quadrante
(d) apenas para
(a)
(b)
(c)
(d)
O que é pedido: escolher qual alternativa descreve corretamente o domínio e o comportamento de crescimento do gráfico de
.
Passo 2
Entendendo o domínio: por definição, a expressão
(a raiz quadrada principal) só faz sentido nos reais quando o radicando é não negativo. Para ver isso com clareza, suponha que exista um número real
tal que
. Então vale
Como
para todo
, necessariamente
. Logo qualquer
na imagem real que admite uma raiz quadrada real deve satisfazer
.
Passo 3
Mostrar que
está incluso: tomar
dá
porque
. Portanto
está bem definido. Conclusão parcial sobre domínio: o domínio de
em
é
Isto já permite eliminar as alternativas (a), (b) e (d):
- (a) é falsa porque não existe raiz real de números negativos;
- (b) é falsa porque exclui
, mas existe; - (d) é falsa porque a raiz não está definida para
.
Passo 4
Provar que a função é crescente no primeiro quadrante (isto é, em
, com valores
) sem usar derivada: pegue
. Considere a diferença
Usando a identidade
com
e
, obtemos
Aqui
porque
e
implica
. Portanto a fração é positiva, isto é,
Isto prova que sempre que
(ambos não negativos) temos
: a função é estritamente crescente em
e, considerando
, não decresce em
. Assim o gráfico está no primeiro quadrante e sobe quando
aumenta.
(Observação rápida com cálculo: se usar derivada,
para
, reforçando o mesmo resultado.)
Passo 5
Resumo final da resolução lógica: o domínio é
, a função é bem definida em
e é crescente para
, portanto vive no primeiro quadrante e é crescente lá. Assim a alternativa correta é a que afirma exatamente isso.
Resposta
(c)
para
e crescente no primeiro quadrante