O domínio da função
é o conjunto dos números reais.
O conjunto dos valores possíveis para
é o intervalo:
A)
B)
C)
D)
E)
O conjunto dos valores possíveis para
A)
B)
C)
D)
E)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre o domínio de uma função que depende de um parâmetro
. Nosso objetivo é descobrir para quais valores de
essa função está definida para todos os números reais. Vamos precisar entender sobre domínio de funções e algumas propriedades de potências e expressões algébricas.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a função dada:
O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de
para os quais a função está definida. Portanto, precisamos garantir que cada parte da função seja válida para qualquer
real.
Passo 3
Vamos dividir a função em duas partes para facilitar:
A segunda parte,
, é um polinômio e está sempre definida para todos os
reais. Então, o que realmente importa é a primeira parte da função.
Passo 4
Vamos focar na primeira parte:
Para essa expressão estar definida, o que está dentro da raiz (ou potência fracionária) deve ser positivo, já que não podemos ter raízes pares de números negativos. Além disso, como o expoente é
, precisamos que a expressão dentro dos parênteses nunca seja zero para evitar divisão por zero.
Então, temos duas condições:
-
para todo real. - A expressão
nunca pode ser igual a zero.
Passo 5
Vamos analisar a desigualdade quadrática:
Queremos que essa desigualdade seja verdadeira para todo
real. Uma forma de garantir isso é fazendo com que a parábola representada por essa expressão não toque o eixo
, ou seja, que ela não tenha raízes reais. Isso acontece quando o discriminante da equação quadrática é negativo.
Passo 6
O discriminante
de uma equação quadrática
é dado por:
No nosso caso,
,
e
. Vamos calcular o discriminante:
Para que a parábola não tenha raízes reais, queremos que
:
Passo 7
Vamos resolver a desigualdade:
Primeiro, distribuímos o
:
Reorganizando os termos:
Podemos multiplicar todos os termos por
para simplificar, lembrando que isso inverte o sinal da desigualdade:
Passo 8
Vamos simplificar a expressão dividindo todos os termos por 4:
Agora, temos uma nova desigualdade quadrática. Vamos encontrar onde essa expressão é maior que zero.
Passo 9
Para resolver
, primeiro encontramos as raízes da equação quadrática
.
Calculando o discriminante:
As raízes são:
Passo 10
Sabemos que uma parábola com coeficiente positivo na frente de
abre para cima. Portanto, a expressão
será verdadeira fora das raízes:
Passo 11
Resumindo, para que a função esteja definida para todos os números reais, precisamos que o parâmetro
esteja fora do intervalo entre as raízes:
Isso significa que o conjunto dos valores possíveis para
é a união desses dois intervalos.
Resposta
A alternativa correta é a letra B)
.