O domínio da função y=(m x^2+4 x+m+2)^-14+(m^2-m x+1) é o conjunto dos números reais.
O conjunto dos valores possíveis para m é o intervalo:
A) (raiz5-1,2)
B) (raiz5-1,+infty)
C) (-2,2)
D) (-1-raiz5,-1+raiz5)
E) (-infty,-1+raiz5)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre o domínio de uma função que depende de um parâmetro m . Nosso objetivo é descobrir para quais valores de m essa função está definida para todos os números reais. Vamos precisar entender sobre domínio de funções e algumas propriedades de potências e expressões algébricas.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a função dada:
y = (m x^2 + 4x + m + 2 )^-14 + ( m^2 - m x + 1 )
O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de x para os quais a função está definida. Portanto, precisamos garantir que cada parte da função seja válida para qualquer x real.

Passo 3

Vamos dividir a função em duas partes para facilitar:
  1. (m x^2 + 4x + m + 2 )^-14
  2. ( m^2 - m x + 1 )
A segunda parte, m^2 - m x + 1 , é um polinômio e está sempre definida para todos os x reais. Então, o que realmente importa é a primeira parte da função.

Passo 4

Vamos focar na primeira parte:
(m x^2 + 4x + m + 2 )^-14
Para essa expressão estar definida, o que está dentro da raiz (ou potência fracionária) deve ser positivo, já que não podemos ter raízes pares de números negativos. Além disso, como o expoente é -14, precisamos que a expressão dentro dos parênteses nunca seja zero para evitar divisão por zero.
Então, temos duas condições:
  1. m x^2 + 4x + m + 2 > 0 para todo x real.
  2. A expressão m x^2 + 4x + m + 2 nunca pode ser igual a zero.

Passo 5

Vamos analisar a desigualdade quadrática:
m x^2 + 4x + m + 2 > 0
Queremos que essa desigualdade seja verdadeira para todo x real. Uma forma de garantir isso é fazendo com que a parábola representada por essa expressão não toque o eixo x , ou seja, que ela não tenha raízes reais. Isso acontece quando o discriminante da equação quadrática é negativo.

Passo 6

O discriminante De<a de uma equação quadrática a x^2 + b x + c = 0 é dado por:
De<a = b^2 - 4ac
No nosso caso, a = m , b = 4 e c = m + 2 . Vamos calcular o discriminante:
De<a = 4^2 - 4 cdot m cdot (m + 2) = 16 - 4m(m + 2)
Para que a parábola não tenha raízes reais, queremos que De<a < 0 :
16 - 4m(m + 2) < 0

Passo 7

Vamos resolver a desigualdade:
16 - 4m(m + 2) < 0
Primeiro, distribuímos o -4m :
16 - 4m^2 - 8m < 0
Reorganizando os termos:
-4m^2 - 8m + 16 < 0
Podemos multiplicar todos os termos por -1 para simplificar, lembrando que isso inverte o sinal da desigualdade:
4m^2 + 8m - 16 > 0

Passo 8

Vamos simplificar a expressão dividindo todos os termos por 4:
m^2 + 2m - 4 > 0
Agora, temos uma nova desigualdade quadrática. Vamos encontrar onde essa expressão é maior que zero.

Passo 9

Para resolver m^2 + 2m - 4 > 0 , primeiro encontramos as raízes da equação quadrática m^2 + 2m - 4 = 0 .
Calculando o discriminante:
De<a = 2^2 - 4 cdot 1 cdot (-4) = 4 + 16 = 20
As raízes são:
m = -2 pm raiz202 = -2 pm 2raiz52 = -1 pm raiz5

Passo 10

Sabemos que uma parábola com coeficiente positivo na frente de m^2 abre para cima. Portanto, a expressão m^2 + 2m - 4 > 0 será verdadeira fora das raízes:
m < -1 - raiz5 ou m > -1 + raiz5

Passo 11

Resumindo, para que a função esteja definida para todos os números reais, precisamos que o parâmetro m esteja fora do intervalo entre as raízes:
m in (-infty, -1 - raiz5) cup (-1 + raiz5, +infty)
Isso significa que o conjunto dos valores possíveis para m é a união desses dois intervalos.

Resposta

A alternativa correta é a letra B) (raiz5 -1, +infty).

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