Resolva os PVIs
lx^2 d yd x=y-x y y(-1)=-1

Passo 1

O enunciado nos dá o problema de valor inicial (PVI) abaixo, que é uma equação diferencial de primeira ordem e de variáveis separáveis:
x^2dydx=y-xy, com a condição inicial y(-1)=-1. Para resolver, vamos usar a técnica de separação de variáveis.

Passo 2

Primeiro, isolamos dy/dx e escrevemos o lado direito em função de x e y:
dydx=y-xyx^2=ycdot1-xx^2
Em seguida, dividimos ambos os lados por y e multiplicamos por dx para separar variáveis:
1y,dy=1-xx^2,dx

Passo 3

Agora integramos os dois lados:
integral1y,dy=integrall(1x^2-1xr)dx
No lado esquerdo vem ln|y|. No direito:
integral x^-2dx=-1x,
integral x^-1dx=ln|x|
Logo,
ln|y|=-1x-ln|x|+C

Passo 4

Elevamos exponencial para resolver para y. Primeiramente note que
ln|y|=-1x-ln|x|+C
implica
|y|=e^Ce^-1/xe^-ln|x|=Ke^-1/x|x|,
onde K=e^C. Absorvendo o sinal em K, escrevemos
y=Ce^-1/xx

Passo 5

Agora aplicamos a condição inicial y(-1)=-1. Substituindo x=-1 e y=-1 na expressão geral:
-1=Ce^-1/(-1)-1=Ce^1-1=-C e
Logo -C e=-1 leva a C=1/e. Assim a solução particular é
y(x)=1ee^-1/xx

Resposta

y(x)=e^-1/xe,x

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