Verifique se a integral de linha
é independente do caminho no domínio
.
Passo 1
O enunciado nos dá a forma diferencial
no domínio
. Queremos saber se a integral de linha
é independente do caminho. Isso equivale a verificar se existe uma função potencial
em
tal que
Passo 2
Definimos
e calculamos as derivadas parciais cruzadas para ver se
é fechada:
Logo
em todo ponto de
, ou seja,
é fechada em
.
Passo 3
Para encontrar o potencial
, integramos
em relação a
mantendo
fixo:
Aqui
é alguma função de
que surge da “constante” de integração.
Passo 4
Para determinar
, exigimos
. Calculamos
e comparamos com
Isso mostra que
, logo
é constante. Podemos tomar
sem perda de generalidade e obter
Passo 5
Vimos que
em todo
. Portanto,
é exata e o campo é conservativo em
. Logo a integral de linha de
entre dois pontos quaisquer depende apenas das coordenadas finais e iniciais, ou seja, é independente do caminho.
Resposta
A integral é independente do caminho em
, pois
.