Verifique se a integral de linha
\int_{\gamma} \frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} d x+\frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} d yé independente do caminho no domínio D= R^{2}-\{(0,0)\}.

Passo 1

O enunciado nos dá a forma diferencial
\omega = \frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\,dx + \frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\,dy
no domínio D=\mathbb{R}^{2}\setminus\{(0,0)\}. Queremos saber se a integral de linha
\int_{\gamma}\omega
é independente do caminho. Isso equivale a verificar se existe uma função potencial f em D tal que
df = \omega.

Passo 2

Definimos
P(x,y)=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}},\quad Q(x,y)=\frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}
e calculamos as derivadas parciais cruzadas para ver se \omega é fechada:
\frac{\partial P}{\partial y} = x\cdot\Bigl(-\tfrac12\Bigr)(x^{2}+y^{2})^{-\tfrac32}\cdot2y = -\frac{xy}{(x^{2}+y^{2})^{\tfrac32}},
\frac{\partial Q}{\partial x} = y\cdot\Bigl(-\tfrac12\Bigr)(x^{2}+y^{2})^{-\tfrac32}\cdot2x = -\frac{xy}{(x^{2}+y^{2})^{\tfrac32}}.
Logo
\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}
em todo ponto de D, ou seja, \omega é fechada em D.

Passo 3

Para encontrar o potencial f, integramos P em relação a x mantendo y fixo:
f(x,y) =\int \frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\,dx =\sqrt{x^{2}+y^{2}} + C(y).
Aqui C(y) é alguma função de y que surge da “constante” de integração.

Passo 4

Para determinar C(y), exigimos \partial f/\partial y = Q. Calculamos
\frac{\partial}{\partial y}\Bigl(\sqrt{x^{2}+y^{2}} + C(y)\Bigr) =\frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} + C'(y)
e comparamos com
Q(x,y)=\frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}.
Isso mostra que C'(y)=0, logo C(y) é constante. Podemos tomar C(y)=0 sem perda de generalidade e obter
f(x,y)=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.

Passo 5

Vimos que df = \omega em todo D. Portanto, \omega é exata e o campo é conservativo em D. Logo a integral de linha de \omega entre dois pontos quaisquer depende apenas das coordenadas finais e iniciais, ou seja, é independente do caminho.

Resposta

A integral é independente do caminho em D, pois \omega = d\bigl(\sqrt{x^{2}+y^{2}}\bigr).

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