Verifique se a integral de linha
é independente do caminho no domínio
.
Passo 1
O enunciado nos dá o campo de vetores
e pede para verificar se a integral de linha
é independente do caminho no domínio
.
Isso é um problema de campos conservativos em cálculo vetorial; vamos usar o teste do rotacional e a conectividade de .
Isso é um problema de campos conservativos em cálculo vetorial; vamos usar o teste do rotacional e a conectividade de
Passo 2
Calculamos o rotacional
. Seja
.
Componentes de :
Componentes de
Por exemplo, a primeira componente de
é
Analogamente as outras duas componentes do rotacional também se anulam, logo
Passo 3
O domínio
é simplesmente conectado (basta notar que retirar um ponto de
deixa um conjunto homeomorfo a
, cuja
é trivial).
Pelo Teorema de Poincaré, um campo com rotacional nulo em região simplesmente conectada é conservativo.
Pelo Teorema de Poincaré, um campo
Passo 4
Para tornar explícito o potencial, procuramos
tal que
.
Da condição
Da condição
segue que
. Verificando,
portanto
é potencial de
.
Passo 5
Como
é conservativo em
, a integral de linha entre dois pontos independe do caminho escolhido. Em particular, para qualquer curva fechada
,
.
Resposta
Sim, a integral de linha é independente do caminho em
, pois
é conservativo com potencial
.