Verifique se a integral de linha
\begin{aligned}& \int_{\gamma} \frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}} d x+\frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}} d y+ \\&+\frac{z}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}} d z\end{aligned}é independente do caminho no domínio \Omega= R^{3}-\{(0,0,0)\}.

Passo 1

O enunciado nos dá o campo de vetores
\mathbf{F}(x,y,z) = \Bigl(\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}},\;\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}},\;\frac{z}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\Bigr)
e pede para verificar se a integral de linha
\int_{\gamma} F_{1}\,dx + F_{2}\,dy + F_{3}\,dz
é independente do caminho no domínio \Omega = \mathbb{R}^3\setminus\{(0,0,0)\}.
Isso é um problema de campos conservativos em cálculo vetorial; vamos usar o teste do rotacional e a conectividade de \Omega.

Passo 2

Calculamos o rotacional \nabla \times \mathbf{F}. Seja r = \sqrt{x^2+y^2+z^2}.
Componentes de \mathbf{F}:
F_{1} = \frac{x}{r},\quad F_{2} = \frac{y}{r},\quad F_{3} = \frac{z}{r}.
Por exemplo, a primeira componente de \nabla\times\mathbf{F} é
\frac{\partial F_{3}}{\partial y} - \frac{\partial F_{2}}{\partial z} = \frac{\partial}{\partial y}\Bigl(\frac{z}{r}\Bigr) - \frac{\partial}{\partial z}\Bigl(\frac{y}{r}\Bigr) = -\frac{z\,y}{r^3} + \frac{y\,z}{r^3} = 0.
Analogamente as outras duas componentes do rotacional também se anulam, logo
\nabla\times \mathbf{F} = \mathbf{0} \quad\text{em }\Omega.

Passo 3

O domínio \Omega = \mathbb{R}^3\setminus\{(0,0,0)\} é simplesmente conectado (basta notar que retirar um ponto de \mathbb{R}^3 deixa um conjunto homeomorfo a S^2\times\mathbb{R}, cuja \pi_1 é trivial).
Pelo Teorema de Poincaré, um campo C^1 com rotacional nulo em região simplesmente conectada é conservativo.

Passo 4

Para tornar explícito o potencial, procuramos \varphi tal que \nabla\varphi=\mathbf{F}.
Da condição
\frac{\partial \varphi}{\partial x} = \frac{x}{r}
segue que \varphi(x,y,z)=r + C. Verificando,
\frac{\partial}{\partial y}(r)=\frac{y}{r},\quad \frac{\partial}{\partial z}(r)=\frac{z}{r},
portanto
\varphi(x,y,z)=\sqrt{x^2+y^2+z^2}
é potencial de \mathbf{F}.

Passo 5

Como \mathbf{F} é conservativo em \Omega, a integral de linha entre dois pontos independe do caminho escolhido. Em particular, para qualquer curva fechada \gamma, \int_{\gamma}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=0.

Resposta

Sim, a integral de linha é independente do caminho em \Omega=\mathbb{R}^3\setminus\{(0,0,0)\}, pois \mathbf{F} é conservativo com potencial \varphi(x,y,z)=\sqrt{x^2+y^2+z^2}.

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