Prove que
não é isomórfico a
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o grupo simétrico de grau
,
, não é isomórfico ao grupo diedral de ordem
,
. Vamos usar o fato de que um isomorfismo preserva o número de elementos de cada ordem.
Passo 2
Contamos o número de involuções (elementos de ordem
) em
.
Em existem
. as
transposições (por exemplo
,
, ···), cada uma de ordem
;
. as
bi-transposições (ou double-transpositions) disjuntas, que são
,
e
).
Logo, o total de involuções em é
Em
Logo, o total de involuções em
Passo 3
Agora contamos as involuções em
.
Em (o diedro de um polígono de
lados, ordem
) temos
. a rotação de
, isto é
, de ordem
;
. as
reflexões (cada reflexão é de ordem
).
Portanto, o total de involuções em é
Em
Portanto, o total de involuções em
Passo 4
Como um isomorfismo de grupos exige conservar o número de elementos de cada ordem, não pode haver isomorfismo entre
(que tem
involuções) e
(que tem
involuções).
Resposta
Não existe isomorfismo entre
e
, pois eles têm quantidades distintas de elementos de ordem
.