Prove que S4 não é isomórfico a D12.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o grupo simétrico de grau 4, S4, não é isomórfico ao grupo diedral de ordem 24, D12. Vamos usar o fato de que um isomorfismo preserva o número de elementos de cada ordem.

Passo 2

Contamos o número de involuções (elementos de ordem 2) em S4.
Em S4 existem
1. as 6 transposições (por exemplo (12), (13), ···), cada uma de ordem 2;
2. as 3 bi-transposições (ou double-transpositions) disjuntas, que são (12)(34), (13)(24) e (14)(23)).
Logo, o total de involuções em S4 é
6 + 3 = 9

Passo 3

Agora contamos as involuções em D12.
Em D12 (o diedro de um polígono de 12 lados, ordem 24) temos
1. a rotação de 180^circ, isto é r^6, de ordem 2;
2. as 12 reflexões (cada reflexão é de ordem 2).
Portanto, o total de involuções em D12 é
1 + 12 = 13

Passo 4

Como um isomorfismo de grupos exige conservar o número de elementos de cada ordem, não pode haver isomorfismo entre S4 (que tem 9 involuções) e D12 (que tem 13 involuções).

Resposta

Não existe isomorfismo entre S4 e D12, pois eles têm quantidades distintas de elementos de ordem 2.

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