Um estudo indica que o tempo médio para recuperar o custo de uma cirurgia bariátrica é de 2 anos. Ao selecionar aleatoriamente 25 pacientes que passaram pela cirurgia, você observa que o tempo médio para recuperar o custo de suas cirurgias é de 2,2 anos. Suponha que o desvio padrão populacional seja de 0,5 ano, e a população apresente uma distribuição normal. Considere um nível de significância de 5% e calcule a estatística do teste para média.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos fala sobre um estudo que analisa o tempo médio para recuperar o custo de uma cirurgia bariátrica. A gente quer calcular a estatística do teste para a média nesse contexto. Pra resolver isso, vamos precisar entender um pouco de estatística inferencial, especificamente sobre teste de hipóteses para a média quando conhecemos o desvio padrão da população e assumimos que a distribuição é normal.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as informações que temos:
  • Tempo médio esperado para recuperar o custo da cirurgia (μ): 2 anos
  • Tempo médio observado na amostra (X̄): 2,2 anos
  • Desvio padrão da população (σ): 0,5 ano
  • Tamanho da amostra (n): 25 pacientes
  • Nível de significância (α): 5% ou 0,05

Passo 3

Agora, vamos formular as hipóteses do teste:
  • Hipótese nula (H₀): O tempo médio para recuperar o custo da cirurgia é igual a 2 anos. Matemáticamente, H₀: μ = 2
  • Hipótese alternativa (H₁): O tempo médio para recuperar o custo da cirurgia é diferente de 2 anos. H₁: μ ≠ 2

Passo 4

Como conhecemos o desvio padrão da população e a distribuição é normal, podemos usar o teste z para a média. A fórmula para calcular a estatística do teste é:
z = barX - musigmaraizn
Onde:
  • barX é a média amostral
  • mu é a média populacional
  • sigma é o desvio padrão da população
  • n é o tamanho da amostra

Passo 5

Vamos substituir os valores na fórmula:
z = 2,2 - 20,5raiz25

Passo 6

Calculando o denominador primeiro:
0,5raiz25 = 0,55 = 0,1

Passo 7

Agora, subtraindo as médias:
2,2 - 2 = 0,2

Passo 8

Finalmente, calculando o valor de z:
z = 0,20,1 = 2

Resposta

A estatística do teste para a média é $ z = 2 $.

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