Um estudo indica que o tempo médio para recuperar o custo de uma cirurgia bariátrica é de 2 anos. Ao selecionar aleatoriamente 25 pacientes que passaram pela cirurgia, você observa que o tempo médio para recuperar o custo de suas cirurgias é de 2,2 anos. Suponha que o desvio padrão populacional seja de 0,5 ano, e a população apresente uma distribuição normal. Considere um nível de significância de 5% e calcule a estatística do teste para média.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos fala sobre um estudo que analisa o tempo médio para recuperar o custo de uma cirurgia bariátrica. A gente quer calcular a estatística do teste para a média nesse contexto. Pra resolver isso, vamos precisar entender um pouco de estatística inferencial, especificamente sobre teste de hipóteses para a média quando conhecemos o desvio padrão da população e assumimos que a distribuição é normal.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as informações que temos:
- Tempo médio esperado para recuperar o custo da cirurgia (μ): 2 anos
- Tempo médio observado na amostra (X̄): 2,2 anos
- Desvio padrão da população (σ): 0,5 ano
- Tamanho da amostra (n): 25 pacientes
- Nível de significância (α): 5% ou 0,05
Passo 3
Agora, vamos formular as hipóteses do teste:
- Hipótese nula (H₀): O tempo médio para recuperar o custo da cirurgia é igual a 2 anos. Matemáticamente, H₀: μ = 2
- Hipótese alternativa (H₁): O tempo médio para recuperar o custo da cirurgia é diferente de 2 anos. H₁: μ ≠ 2
Passo 4
Como conhecemos o desvio padrão da população e a distribuição é normal, podemos usar o teste z para a média. A fórmula para calcular a estatística do teste é:
Onde:
-
é a média amostral -
é a média populacional -
é o desvio padrão da população -
é o tamanho da amostra
Passo 5
Vamos substituir os valores na fórmula:
Passo 6
Calculando o denominador primeiro:
Passo 7
Agora, subtraindo as médias:
Passo 8
Finalmente, calculando o valor de z:
Resposta
A estatística do teste para a média é $ z = 2 $.