Questão 2 ( 2 pontos) Determine a taxa de variação máxima de
no ponto dado, e em que direção isto ocorre:
na direção de
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar a taxa de variação máxima da função $ f(x, y) = x \ln(xy) $ no ponto
e em qual direção isso acontece. Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de gradiente, que nos dá a direção de maior aumento da função.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais da função $ f(x, y) $ em relação a $ x $ e $ y $. Isso porque o gradiente é formado por essas derivadas.
Passo 3
Calculando a derivada parcial em relação a $ x $:
Passo 4
Calculando a derivada parcial em relação a $ y $:
Passo 5
Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto
:
Passo 6
O gradiente de $ f $ no ponto
é então:
Passo 7
A taxa de variação máxima é o módulo desse gradiente. Vamos calcular:
Passo 8
A direção em que essa variação máxima ocorre é na mesma direção do gradiente, ou seja, na direção do vetor $ \vec{i} + \vec{j} $.
Resposta
A taxa de variação máxima de $ f $ no ponto
é $ \sqrt{2} $ e ocorre na direção do vetor $ \vec{i} + \vec{j} $.