Questão 2 ( 2 pontos) Determine a taxa de variação máxima de f no ponto dado, e em que direção isto ocorre:
f(x, y)=x ln (x y) ;(x, y)=(1,1) ; R=2 na direção de i+j

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar a taxa de variação máxima da função $ f(x, y) = x \ln(xy) $ no ponto f(x, y) = x ln(xy) e em qual direção isso acontece. Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de gradiente, que nos dá a direção de maior aumento da função.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais da função $ f(x, y) $ em relação a $ x $ e $ y $. Isso porque o gradiente é formado por essas derivadas.

Passo 3

Calculando a derivada parcial em relação a $ x $:
x

Passo 4

Calculando a derivada parcial em relação a $ y $:
y

Passo 5

Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto (1,1):
fx(1,1) = ln(1 cdot 1) + 1 = ln(1) + 1 = 0 + 1 = 1
fy(1,1) = 11 = 1

Passo 6

O gradiente de $ f $ no ponto f é então:
(1,1)

Passo 7

A taxa de variação máxima é o módulo desse gradiente. Vamos calcular:
|nabla f(1,1)| = raiz1^2 + 1^2 = raiz2 approx 1,414

Passo 8

A direção em que essa variação máxima ocorre é na mesma direção do gradiente, ou seja, na direção do vetor $ \vec{i} + \vec{j} $.

Resposta

A taxa de variação máxima de $ f $ no ponto f é $ \sqrt{2} $ e ocorre na direção do vetor $ \vec{i} + \vec{j} $.

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