A dona de uma lanchonete observou que, vendendo um combo a R$ 10,00, 200 deles são vendidos por dia, e que, para cada redução de R$ 1,00 nesse preço, ela vende 100 combos a mais. Nessas condições, qual é a máxima arrecadação diária que ela espera obter com a venda desse combo?
(A) R$ 2.000,00
(B) R$ 3.200,00
© R$ 3.600,00
(D) R$ 4.000,00
(E) R$ 4.800,00

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre maximizar a arrecadação diária da dona da lanchonete vendendo um combo. Vamos usar conceitos de função quadrática para encontrar o preço que gera a maior receita. Precisamos relacionar o preço do combo com a quantidade vendida e calcular a arrecadação máxima.

Passo 2

Primeiro, vamos definir uma variável para facilitar. Seja $ x $ o número de reduções de R$ 1,00 no preço do combo. Assim:
  • Preço do combo: $ P = 10 - x $ reais
  • Quantidade vendida: $ Q = 200 + 100x $ combos
Isso porque, para cada redução de R$ 1,00, ela vende 100 combos a mais.

Passo 3

A arrecadação diária ($ R $) é o produto do preço pela quantidade vendida:
R
Vamos expandir essa expressão para facilitar os cálculos:
R = P times Q = (10 - x)(200 + 100x)
R = 10 times 200 + 10 times 100x - x times 200 - x times 100x
R = 2000 + 1000x - 200x - 100x^2

Passo 4

Agora, temos a função quadrática da arrecadação:
R(x) = -100x^2 + 800x + 2000
Os coeficientes dessa função são:
  • $ a = -100 $ (coeficiente do $ x^2 $)
  • $ b = 800 $ (coeficiente do $ x $)
  • $ c = 2000 $ (termo constante)

Passo 5

Para encontrar o valor de $ x $ que maximiza a arrecadação, usamos a fórmula do vértice da função quadrática:
x
Substituindo os valores:
x = -b2a
Então, a dona deve reduzir o preço em 4 vezes R$ 1,00.

Passo 6

Com $ x = 4 $:
  • Preço do combo: $ P = 10 - 4 = 6 $ reais
  • Quantidade vendida: $ Q = 200 + 100 \times 4 = 600 $ combos

Passo 7

Agora, calculamos a arrecadação máxima:
R = P times Q = 6 times 600 = 3600 reais

Resposta

A máxima arrecadação diária é de R$ 3.600,00.

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