A dona de uma lanchonete observou que, vendendo um combo a R$ 10,00, 200 deles são vendidos por dia, e que, para cada redução de R$ 1,00 nesse preço, ela vende 100 combos a mais. Nessas condições, qual é a máxima arrecadação diária que ela espera obter com a venda desse combo?
(A) R$ 2.000,00
(B) R$ 3.200,00
© R$ 3.600,00
(D) R$ 4.000,00
(E) R$ 4.800,00
(A) R$ 2.000,00
(B) R$ 3.200,00
© R$ 3.600,00
(D) R$ 4.000,00
(E) R$ 4.800,00
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre maximizar a arrecadação diária da dona da lanchonete vendendo um combo. Vamos usar conceitos de função quadrática para encontrar o preço que gera a maior receita. Precisamos relacionar o preço do combo com a quantidade vendida e calcular a arrecadação máxima.
Passo 2
Primeiro, vamos definir uma variável para facilitar. Seja $ x $ o número de reduções de R$ 1,00 no preço do combo. Assim:
- Preço do combo: $ P = 10 - x $ reais
- Quantidade vendida: $ Q = 200 + 100x $ combos
Isso porque, para cada redução de R$ 1,00, ela vende 100 combos a mais.
Passo 3
A arrecadação diária ($ R $) é o produto do preço pela quantidade vendida:
Vamos expandir essa expressão para facilitar os cálculos:
Passo 4
Agora, temos a função quadrática da arrecadação:
Os coeficientes dessa função são:
- $ a = -100 $ (coeficiente do $ x^2 $)
- $ b = 800 $ (coeficiente do $ x $)
- $ c = 2000 $ (termo constante)
Passo 5
Para encontrar o valor de $ x $ que maximiza a arrecadação, usamos a fórmula do vértice da função quadrática:
Substituindo os valores:
Então, a dona deve reduzir o preço em 4 vezes R$ 1,00.
Passo 6
Com $ x = 4 $:
- Preço do combo: $ P = 10 - 4 = 6 $ reais
- Quantidade vendida: $ Q = 200 + 100 \times 4 = 600 $ combos
Passo 7
Agora, calculamos a arrecadação máxima:
Resposta
A máxima arrecadação diária é de R$ 3.600,00.