Dona Maria (irmã de dona Joana) tem 10 livros de matemática e 8 livros de literatura brasileira. Ela pretende escolher oito destes livros e organizá-los numa prateleira. De quantas formas ela pode fazer isso se
- ela escolher 5 livros de matemática, 3 de literatura e impor a restrição de que livros de matemática fiquem juntos na prateleira.
Passo 1
Vamos entender o que a Dona Maria quer fazer. Ela tem 10 livros de matemática e 8 de literatura brasileira, totalizando 18 livros. Ela pretende escolher 5 livros de matemática e 3 livros de literatura, totalizando 8 livros para organizar na prateleira. A regra é que os livros de matemática fiquem todos juntos na prateleira. Para resolver isso, vamos usar conceitos de combinação e arranjo, além de considerar a restrição de que os livros de matemática devem estar agrupados.
Passo 2
Primeiro, vamos escolher os 5 livros de matemática entre os 10 disponíveis. Para isso, usamos a combinação, que nos diz de quantas formas podemos selecionar 5 livros sem importar a ordem. A fórmula da combinação é:
Aplicando os números:
Portanto, há 252 maneiras de escolher 5 livros de matemática.
Passo 3
Agora, vamos escolher os 3 livros de literatura entre os 8 disponíveis. Usamos novamente a combinação:
Então, há 56 maneiras de escolher 3 livros de literatura.
Passo 4
Com as escolhas feitas, precisamos organizar os 8 livros na prateleira, mas com a condição de que os 5 livros de matemática fiquem juntos. Para facilitar, vamos tratar os 5 livros de matemática como um único bloco. Assim, teremos:
- 1 bloco de matemática
- 3 livros de literatura
Totalizando 4 elementos para organizar na prateleira. A quantidade de maneiras de organizar esses 4 elementos é dada por um arranjo:
Portanto, há 24 maneiras de organizar esses 4 elementos.
Passo 5
Dentro do bloco de matemática, os 5 livros podem ser organizados entre si de várias formas. A quantidade de maneiras de organizar esses 5 livros é:
Então, há 120 maneiras de organizar os livros de matemática dentro do bloco.
Passo 6
Para encontrar o total de maneiras que a Dona Maria pode escolher e organizar os livros conforme as restrições, multiplicamos todas as possibilidades que calculamos:
Calculando passo a passo:
- $ 252 \times 56 = 14.112 $
- $ 14.112 \times 24 = 338.688 $
- $ 338.688 \times 120 = 40.642.560 $
Resposta
A Dona Maria pode organizar os livros de 40.642.560 maneiras diferentes.