Dona Maria (irmã de dona Joana) tem 10 livros de matemática e 8 livros de literatura brasileira. Ela pretende escolher oito destes livros e organizá-los numa prateleira. De quantas formas ela pode fazer isso se
  • ela escolher 5 livros de matemática, 3 de literatura e impor a restrição de que livros de matemática fiquem juntos na prateleira.

Passo 1

Vamos entender o que a Dona Maria quer fazer. Ela tem 10 livros de matemática e 8 de literatura brasileira, totalizando 18 livros. Ela pretende escolher 5 livros de matemática e 3 livros de literatura, totalizando 8 livros para organizar na prateleira. A regra é que os livros de matemática fiquem todos juntos na prateleira. Para resolver isso, vamos usar conceitos de combinação e arranjo, além de considerar a restrição de que os livros de matemática devem estar agrupados.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher os 5 livros de matemática entre os 10 disponíveis. Para isso, usamos a combinação, que nos diz de quantas formas podemos selecionar 5 livros sem importar a ordem. A fórmula da combinação é:
C(n, k) = n!k!(n - k)!
Aplicando os números:
C(10, 5) = 10!5! times 5! = 252
Portanto, há 252 maneiras de escolher 5 livros de matemática.

Passo 3

Agora, vamos escolher os 3 livros de literatura entre os 8 disponíveis. Usamos novamente a combinação:
C(8, 3) = 8!3! times 5! = 56
Então, há 56 maneiras de escolher 3 livros de literatura.

Passo 4

Com as escolhas feitas, precisamos organizar os 8 livros na prateleira, mas com a condição de que os 5 livros de matemática fiquem juntos. Para facilitar, vamos tratar os 5 livros de matemática como um único bloco. Assim, teremos:
  • 1 bloco de matemática
  • 3 livros de literatura
Totalizando 4 elementos para organizar na prateleira. A quantidade de maneiras de organizar esses 4 elementos é dada por um arranjo:
4! = 24
Portanto, há 24 maneiras de organizar esses 4 elementos.

Passo 5

Dentro do bloco de matemática, os 5 livros podem ser organizados entre si de várias formas. A quantidade de maneiras de organizar esses 5 livros é:
5! = 120
Então, há 120 maneiras de organizar os livros de matemática dentro do bloco.

Passo 6

Para encontrar o total de maneiras que a Dona Maria pode escolher e organizar os livros conforme as restrições, multiplicamos todas as possibilidades que calculamos:
C(10, 5) times C(8, 3) times 4! times 5! = 252 times 56 times 24 times 120
Calculando passo a passo:
  1. $ 252 \times 56 = 14.112 $
  2. $ 14.112 \times 24 = 338.688 $
  3. $ 338.688 \times 120 = 40.642.560 $

Resposta

A Dona Maria pode organizar os livros de 40.642.560 maneiras diferentes.

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