De quantas maneiras 8 pessoas (escolhidas de um grupo com 10 pessoas) podem se sentar em fila se
- tivermos que escolher 3 homens e for necessário que eles se sentem lado a lado?
Passo 1
Vamos entender o que o problema está pedindo. Temos um grupo de 10 pessoas e precisamos escolher 8 delas para se sentarem em uma fila. Dentre essas 8 pessoas, exatamente 3 devem ser homens e esses 3 homens precisam sentar-se lado a lado.
Matéria envolvida: Combinação e permutação na contagem de possibilidades.
O que vamos precisar: Conhecer como calcular combinações (quantas maneiras de escolher um grupo) e permutações (quantas maneiras de ordenar um grupo), além de entender como tratar um grupo de pessoas que devem ficar juntas como uma única unidade.
Passo 2
Primeiro, vamos determinar quantas maneiras temos de escolher exatamente 3 homens de um grupo de 10 pessoas. No entanto, o enunciado não especifica quantos homens e mulheres há no grupo de 10 pessoas. Vamos supor que o grupo tem $ m $ homens e $ n $ mulheres, onde $ m + n = 10 $.
No entanto, como o problema não nos dá essa informação, para resolver de forma geral, vamos considerar que estamos escolhendo 3 pessoas específicas (que são homens) de um grupo que já tem essa característica.
Passo 3
Como os 3 homens devem sentar-se lado a lado, podemos tratá-los como uma única “super pessoa”. Assim, em vez de ter 8 pessoas para arrumar, temos:
- A “super pessoa” composta pelos 3 homens
- Mais 5 pessoas individuais
No total, isso dá $ 1 + 5 = 6 $ unidades para arrumar em fila.
Passo 4
Agora, vamos calcular de quantas maneiras podemos arrumar essas 6 unidades em uma fila. Isso é equivalente a calcular as permutações de 6 elementos:
Passo 5
Dentro da “super pessoa” dos 3 homens, eles também podem trocar de lugar entre si. Ou seja, os 3 homens podem ser arranjados de $ 3! $ maneiras:
Passo 6
Além disso, precisamos considerar de quantas maneiras podemos escolher os 5 outros membros do grupo de 10 pessoas, excluindo os 3 homens já escolhidos. Isso é uma combinação, pois a ordem não importa na escolha:
Passo 7
Finalmente, para encontrar o número total de maneiras de organizar as 8 pessoas na fila com as condições dadas, multiplicamos todas as possibilidades:
Resposta
Portanto, existem 90.720 maneiras de escolher e organizar 8 pessoas em uma fila, garantindo que 3 homens sejam escolhidos e se sentem lado a lado.