De quantas maneiras 8 pessoas (escolhidas de um grupo com 10 pessoas) podem se sentar em fila se
- as pessoas A e B tiverem que se sentar uma ao lado da outra?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício! A gente precisa descobrir de quantas maneiras 8 pessoas escolhidas de um grupo de 10 podem se sentar em fila, mas com a condição de que as pessoas A e B fiquem sempre uma ao lado da outra. Para isso, vamos usar conceitos de combinação e permutação, além de entender como tratar A e B como um grupo especial.
Passo 2
Primeiro, vamos garantir que as pessoas A e B estão entre as 8 escolhidas. Como estamos selecionando 8 pessoas de um grupo de 10, e já sabemos que A e B devem estar nesse grupo, precisamos escolher as outras 6 pessoas dentre as 8 restantes. A forma de fazer isso é usando a combinação:
Isso significa “quantas maneiras de escolher 6 pessoas de um grupo de 8”.
Passo 3
Calculando a combinação:
Então, existem 28 maneiras de escolher as outras 6 pessoas além de A e B.
Passo 4
Agora, vamos pensar em como organizar essas 8 pessoas em uma fila, com a condição de A e B sempre juntas. Para facilitar, podemos tratar A e B como uma única unidade. Assim, em vez de 8 indivíduos, temos 7 “unidades” para organizar (A e B juntos contam como uma).
A quantidade de maneiras de arranjar 7 unidades em fila é dada por:
Passo 5
Calculando a permutação:
Então, há 5040 maneiras de organizar essas 7 unidades.
Passo 6
Mas espera! Dentro da unidade A e B, eles podem trocar de posição entre si. Ou seja, A pode ficar antes de B ou B antes de A. Isso significa que, para cada arranjo das 7 unidades, temos 2 possibilidades a mais.
Então, multiplicamos o número de arranjos por 2:
Passo 7
Finalmente, para encontrar o total de maneiras de escolher e organizar as pessoas conforme as condições, multiplicamos as combinações das pessoas escolhidas pelas permutações das filas:
Resposta
Existem 282.240 maneiras de organizar as 8 pessoas em fila, com A e B sempre juntas.