De quantas maneiras 8 pessoas (escolhidas de um grupo com 10 pessoas) podem se sentar em fila se
  • as pessoas A e B tiverem que se sentar uma ao lado da outra?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício! A gente precisa descobrir de quantas maneiras 8 pessoas escolhidas de um grupo de 10 podem se sentar em fila, mas com a condição de que as pessoas A e B fiquem sempre uma ao lado da outra. Para isso, vamos usar conceitos de combinação e permutação, além de entender como tratar A e B como um grupo especial.

Passo 2

Primeiro, vamos garantir que as pessoas A e B estão entre as 8 escolhidas. Como estamos selecionando 8 pessoas de um grupo de 10, e já sabemos que A e B devem estar nesse grupo, precisamos escolher as outras 6 pessoas dentre as 8 restantes. A forma de fazer isso é usando a combinação:
binom86
Isso significa “quantas maneiras de escolher 6 pessoas de um grupo de 8”.

Passo 3

Calculando a combinação:
binom86 = 8!6! times (8-6)! = 8 times 72 times 1 = 28
Então, existem 28 maneiras de escolher as outras 6 pessoas além de A e B.

Passo 4

Agora, vamos pensar em como organizar essas 8 pessoas em uma fila, com a condição de A e B sempre juntas. Para facilitar, podemos tratar A e B como uma única unidade. Assim, em vez de 8 indivíduos, temos 7 “unidades” para organizar (A e B juntos contam como uma).
A quantidade de maneiras de arranjar 7 unidades em fila é dada por:
7!

Passo 5

Calculando a permutação:
7! = 7 times 6 times 5 times 4 times 3 times 2 times 1 = 5040
Então, há 5040 maneiras de organizar essas 7 unidades.

Passo 6

Mas espera! Dentro da unidade A e B, eles podem trocar de posição entre si. Ou seja, A pode ficar antes de B ou B antes de A. Isso significa que, para cada arranjo das 7 unidades, temos 2 possibilidades a mais.
Então, multiplicamos o número de arranjos por 2:
5040 times 2 = 10080

Passo 7

Finalmente, para encontrar o total de maneiras de escolher e organizar as pessoas conforme as condições, multiplicamos as combinações das pessoas escolhidas pelas permutações das filas:
28 times 10080 = 282240

Resposta

Existem 282.240 maneiras de organizar as 8 pessoas em fila, com A e B sempre juntas.

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