Dona Maria (irmã de dona Joana) tem 10 livros de matemática e 8 livros de literatura brasileira. Ela pretende escolher oito destes livros e organizá-los numa prateleira. De quantas formas ela pode fazer isso se
  • ela escolher 5 livros de matemática, 3 de literatura e impor a restrição de que livros de matemática fiquem juntos na prateleira e livros de literatura também.

Passo 1

Vamos entender o que a Dona Maria quer fazer. Ela tem 10 livros de matemática e 8 de literatura brasileira. Ela quer escolher 5 livros de matemática e 3 de literatura, totalizando 8 livros, e organizá-los na prateleira. Além disso, todos os livros de matemática devem ficar juntos e todos os de literatura também. Para resolver isso, vamos precisar usar combinações e arranjos.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular de quantas maneiras ela pode escolher 5 livros de matemática entre os 10 que ela tem. Isso é uma combinação, pois a ordem em que ela escolhe os livros não importa. A fórmula para combinações é:
C(n, k) = n!k!(n-k)!
Aplicando para os livros de matemática:
C(10, 5) = 10!5! times 5! = 252

Passo 3

Agora, vamos ver quantas maneiras ela pode escolher 3 livros de literatura entre os 8 disponíveis. Usamos a mesma fórmula de combinação:
C(8, 3) = 8!3! times 5! = 56

Passo 4

Depois de escolher os livros, precisamos organizá-los na prateleira com a restrição de que todos os livros de matemática fiquem juntos e todos os de literatura também. Podemos pensar que temos dois “grupos” de livros: um grupo de matemática e outro de literatura.

Passo 5

Primeiro, vamos considerar a ordem desses dois grupos na prateleira. Como são dois grupos, eles podem ficar em duas posições diferentes:
  1. Matemática primeiro e depois literatura.
  2. Literatura primeiro e depois matemática.
Isso dá:
2! = 2 maneiras

Passo 6

Dentro de cada grupo, os livros podem ser organizados entre si. Para os 5 livros de matemática:
5! = 120 maneiras
E para os 3 livros de literatura:
3! = 6 maneiras

Passo 7

Agora, para encontrar o total de formas possíveis, multiplicamos todas as etapas:
C(10, 5) times C(8, 3) times 2! times 5! times 3! = 252 times 56 times 2 times 120 times 6

Passo 8

Calculando o valor:
252 times 56 = 14112
14112 times 2 = 28224
28224 times 120 = 3386880
3386880 times 6 = 20321280

Resposta

Dona Maria pode organizar os livros de 20.321.280 formas diferentes.

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