O dono de uma empresa de transporte particular está em dúvida sobre se ele deve ou não comprar pneus da marca “NOVA”, a qual afirma que o uso de seus pneus aumenta o desempenho do automóvel, em termos de quilômetros rodados por litro de combustível ( \mathrm{km} / \mathrm{l} ). Eis que o empresário encontrou um artigo numa revista sobre automóveis, relatando o seguinte experimento: “12 carros foram equipados com pneus da marca “ANTIGA”, rodaram certo percurso a uma velocidade média de 70 \mathrm{~km} / \mathrm{h}. Em seguida, os mesmos veículos foram equipados com pneus da marca “NOVA” e, com os mesmos motoristas, rodaram o mesmo percurso à mesma velocidade média”. Os dados(em km/l) são apresentados na tabela abaixo. Com base nesses dados, o empresário contratou você para, estatisticamente, avaliar a afirmação de que a marca “NOVA” proporciona aumento no desempenho do automóvel. Considere amostras pareadas. Utilize \alpha=5 \%. (R: T_{t}=2,48 )
Carro NOVA ANTIGA
1 4,2 4,1
2 4,7 4,9
3 6,6 6,2
4 7,0 6,9
5 6,7 6,8
6 4,5 4,4
7 5,7 5,7
8 6,0 5,8
9 7,4 6,9
10 4,9 4,7
11 6,1 6,0
12 5,2 4,9
Tabela 1: Dados de desempenho em km/l

Passo 1

O enunciado descreve um experimento com amostras pareadas: para cada um dos n=12 carros mediu-se o consumo (km/l) com pneus “ANTIGA” e depois com pneus “NOVA”. Queremos testar, a nível de significância \alpha=5\%, se de fato a marca “NOVA” aumenta o desempenho.
O conteúdo envolvido é o teste t de Student para amostras pareadas, que exige calcular as diferenças
D_i = X_{i,\text{NOVA}} - X_{i,\text{ANTIGA}},
calcular a média \bar D e o desvio-padrão s_D dessas diferenças, depois computar
t = \frac{\bar D}{s_D/\sqrt{n}}
e comparar com o valor crítico t_{n-1;\,1-\alpha}.

Passo 2

Calcular as diferenças D_i:
\begin{array}{c|rrrrrrrrrrrr} i &1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12\\hline D_i&0,1&-0,2&0,4&0,1&-0,1&0,1&0,0&0,2&0,5&0,2&0,1&0,3 \end{array}

Passo 3

Calcular a média das diferenças:
\bar D = \frac1{12}\sum_{i=1}^{12}D_i = \frac{1,7}{12} \approx 0,1417

Passo 4

Calcular o desvio-padrão amostral das diferenças:
s_D = \sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(D_i - \bar D)^2} \approx \sqrt{\frac{0,42926}{11}}\approx0,1976

Passo 5

Formular as hipóteses:
H_0: \mu_D = 0 \quad\text{vs.}\quad H_1: \mu_D > 0.
Calcular a estatística-t:
t = \frac{\bar D}{s_D/\sqrt{n}} = \frac{0,1417}{0,1976/\sqrt{12}} \approx2,48.

Passo 6

O valor crítico para t_{11;\,0{,}95} (uma cauda, grau de liberdade 11) é aproximadamente 1,796. Como
t_{\text{calc}} = 2,48 > 1,796,
rejeitamos H_0 ao nível \alpha=5\%. Portanto, há evidência estatística de que a marca “NOVA” aumenta o consumo em km/l.

Resposta

Rejeita-se H_0. Há evidência de que pneus “NOVA” proporcionam aumento no desempenho do automóvel.

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