Um mancal usado em uma aplicação automotiva deve ter um diâmetro nominal interno de 38,1 \mathrm{~mm}. Uma amostra aleatória de 25 mancais é selecionada, e o diâmetro médio observado é de 38,0365 \mathrm{~mm}. Sabe-se que o diâmetro do mancal é normalmente distribuído, com \sigma= 0,254 \mathrm{~mm}.
(a) Teste as hipóteses H_{0}: \mu=38,1 \mathrm{~mm} contra H_{1}: \mu \neq 38,1 \mathrm{~mm}. Use \alpha=0,01;
(R: Z t=-1,25. Não rejeita H_{0} )
(b) Qual o valor P para o item (a)? (r: 0,2112 )
(c) Explique como a questão do item (a) poderia ser respondida, construindo um intervalo de confiança bilateral para o diâmetro médio.

Passo 1

O enunciado apresenta a medida do diâmetro interno de um mancal, que se sabe normalmente distribuído com desvio‐padrão conhecido \sigma=0,254\\ \mathrm{mm}. Foi coletada uma amostra de tamanho n=25 com média amostral \bar x=38,0365\\ \mathrm{mm}. Queremos testar, ao nível de significância \alpha=0,01,
H_{0}:\mu=38,1\\ \mathrm{mm} \quad\text{vs.}\quad H_{1}:\mu\neq38,1\\ \mathrm{mm}.
Para isso, usaremos o teste baseado na estatística Z e, em seguida, calcularemos o valor‐ P. Por fim, mostrarei como usar um intervalo de confiança bilateral para chegar à mesma conclusão.

Passo 2

Para o teste Z com \sigma conhecido, a estatística é
Z = \frac{\bar x - \mu_{0}}{\sigma / \sqrt{n}}.
Substituindo \bar x=38,0365, \mu_{0}=38,1, \sigma=0,254 e n=25, temos
Z = \frac{38,0365 - 38,1}{0,254/\sqrt{25}} = \frac{-0,0635}{0,0508} \approx -1,25.
Como o teste é bilateral com \alpha=0,01, a região crítica é \lvert Z\rvert > z_{0,995}, onde z_{0,995}\approx2,5758. Visto que \lvert -1,25\rvert < 2,5758, não rejeitamos H_{0}.

Passo 3

O valor‐ P para um teste bilateral é
\text{valor-}P = 2\,P\bigl(Z < -1,25\bigr).
Da tabela normal padrão, P(Z < -1,25)\approx0,1056. Logo
\text{valor-}P \approx 2 \times 0,1056 = 0,2112.

Passo 4

Um modo alternativo de responder ao item (a) é construir um intervalo de confiança bilateral de nível 1-\alpha=0,99 para \mu, dado por
\bar x \pm z_{0,995}\,\frac{\sigma}{\sqrt{n}}.
Calculamos a margem de erro:
E = 2,5758 \times \frac{0,254}{\sqrt{25}} = 2,5758 \times 0,0508 \approx 0,1309.
Portanto, o intervalo de confiança de 99\% é
\bigl[\,38,0365 - 0,1309 \;;\;38,0365 + 0,1309\bigr] = [\,37,9056\;;\;38,1674\,].
Como o valor hipotetizado 38,1 está dentro desse intervalo, concluímos novamente que não há evidência para rejeitar H_{0}.

Resposta

(a) Não rejeita H_{0} ao nível \alpha=0,01.
(b) Valor- P\approx0,2112.
(c) O intervalo de confiança bilateral de 99\% para \mu é
[\,37,9056\;;\;38,1674\,],
e como 38,1 pertence a esse intervalo, chega‐se à mesma conclusão de não rejeitar H_{0}.

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