Um engenheiro está estudando a resistência à tração de uma liga de aço. Sabe-se que a resistência dessa liga tem distribuição normal, com \sigma=18,30 \mathrm{MPa}. Uma amostra aleatória de 12 corpos de prova apresentou resistência média de 220 MPa .
(a) Há evidência estatística que suporte a afirmação de que a resistência média real seja diferente de 230 MPa ? Use \alpha=0,01; ( z_{t}=-1,89. Não rejeita H_{0} )
(b) Qual o menor nível de significância que rejeitaria a hipótese nula (qual o valor P do teste)? (0,059)
(c) Responda à questão do item (a) utilizando um intervalo de confiança para a resistência média. (\mathrm{IC}=(220,0 \pm 13,6) \mathrm{MPa})

Passo 1

O enunciado trata de um teste de hipóteses para a resistência média \mu de uma liga de aço, assumindo distribuição normal com desvio padrão populacional conhecido \sigma=18,30\\ \mathrm{MPa}. Foi coletada uma amostra de tamanho n=12 com média amostral \bar x=220\\ \mathrm{MPa}. Queremos testar
H_0:\mu=230\quad\text{vs.}\quad H_1:\mu\neq230
ao nível de significância \alpha=0,01, usando o teste z.

Passo 2

Calcular a estatística de teste z. Como \sigma é conhecido, usamos
z=\frac{\bar x-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}} =\frac{220-230}{18{,}30/\sqrt{12}} =\frac{-10}{18{,}30/3{,}4641} \approx -1{,}89.

Passo 3

Determinar a região crítica e tomar a decisão. Para teste bilateral com \alpha=0,01, o ponto crítico é
z_{1-\alpha/2}=z_{0,995}\approx2{,}576,
então rejeitamos H_0 se \lvert z\rvert>2{,}576. Como \lvert -1{,}89\rvert<2{,}576, não rejeitamos H_0. Logo, não há evidência para afirmar que \mu\neq230\\ \mathrm{MPa} ao nível 0,01.

Passo 4

Calcular o valor- p. Como o teste é bilateral,
p=2\,P\bigl(Z\le -1{,}89\bigr) \approx2\times0{,}0294 \approx0{,}0588\approx0{,}059.
Esse é o menor nível de significância que ainda rejeitaria H_0.

Passo 5

Construir o intervalo de confiança de nível 1-\alpha=0{,}99 para \mu. A margem de erro é
E=z_{0,995}\,\frac{\sigma}{\sqrt{n}} \approx2{,}576\times\frac{18{,}30}{\sqrt{12}} \approx13{,}6\\ \mathrm{MPa}.
Portanto,
\text{IC}_{99\%}=\bigl(220,0-13,6,\;220,0+13,6\bigr) =(206,4,\;233,6)\\ \mathrm{MPa}.
Como 230 está dentro do intervalo, concluímos novamente não rejeitar H_0.

Resposta

(a) Não rejeita H_0; não há evidência de que a média seja diferente de 230\\ \mathrm{MPa} ao nível \alpha=0,01.
(b) p\text{-valor}\approx0,059.
(c) IC_{99\%}=(220,0\pm13,6)\\ \mathrm{MPa}, o que leva à mesma conclusão de não rejeitar H_0.

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