Um dormitório em uma grande universidade, foi construído há muitos anos, e as paredes externas têm um área total de A=400 m^2, e foram construídas com um forro de madeira, de condutividade térmica k=0,18W/(m-K) e espessura L=50 mm. Devido ao elevado custo com aquecimento do ambiente interno do dormitório, e visando reduzir a perda térmica através das paredes no inverno, a universidade decidiu encapsular todo o dormitório com a aplicação de uma camada de Li=45 mm de isolante extrudado com ki=0,048 W /(m-K) na superfície externa do forro. Para garantir proteção e durabilidade do isolante extrudado, o mesmo é, por sua vez, coberto com vidro arquitetônico, LN=5 mm com kw=1,4 W /(m cdot K). Os coeficientes de transferência de calor interno e externo são his=5 W /(m^2 cdot K) e he=30 W /(m^2 cdot K), respectivamente.
Sendo o vapor gerado em uma caldeira alimentada por gás natural, operando com uma eficiência de eta=0.85, e o gás natural cotado a Cg=10,07 por MJ , qual é a economia mensal obtida pela aplicação do isolante nas paredes do dormitório? (2,5 pontos)

Passo 1

Então, o que tá rolando aqui? A gente tem um dormitório de área total A=400 m² cujas paredes eram só um forro de madeira (L=50 mm, k=0,18 W/mK). Pra reduzir a perda de calor no inverno, aplicaram por fora uma camada de isolante extrudado (Li=45 mm, ki=0,048 W/mK) e, por cima do isolante, vidro arquitetônico (LN=5 mm, kw=1,4 W/mK). Por fim, os coeficientes de convecção interna e externa são his=5 W/m²K e he=30 W/m²K.
Conteúdo: transferência de calor por convecção e condução em série, cálculo de resistências térmicas, energia mensal e custo de gás.
O que precisamos fazer:
  1. Converter espessuras pra metros.
  2. Montar as resistências térmicas em série (convecção interna, condução dos três materiais, convecção externa).
  3. Calcular U (coef. global) antes e depois do isolante.
  4. Estimar ΔT entre interior e exterior (vamos assumir um inverno típico ΔT=20 K).
  5. Calcular potência de perda antes e depois (Q̇=U·A·ΔT).
  6. Extrair a potência poupada ΔQ̇, transformar em energia por mês, ajustar pela eficiência da caldeira (η=0,85) e multiplicar pelo custo do gás (Cg=10,07 R$ /MJ).

Passo 2

Converter espessuras pra metros e calcular as resistências por metro quadrado:
L madeira = 50 mm = 0,05 m
L isolante = 45 mm = 0,045 m
L vidro = 5 mm = 0,005 m
Resistências (todas em K·m²/W):
R_i = 1/his = 1/5 = 0,200
R_wood= L/k = 0,05/0,18 ≃ 0,278
R_ins = 0,045/0,048 ≃ 0,938
R_vid = 0,005/1,4 ≃ 0,0036
R_e = 1/he = 1/30 ≃ 0,0333

Passo 3

Somar as resistências sem isolamento (só madeira):
R_tot,antes = R_i + R_wood + R_e
≃ 0,200 + 0,278 + 0,0333
= 0,5113 K·m²/W
Somar as resistências com isolamento + vidro:
R_tot,depois = R_i + R_wood + R_ins + R_vid + R_e
≃ 0,200 + 0,278 + 0,938 + 0,0036 + 0,0333
= 1,453 K·m²/W

Passo 4

Calcular o coeficiente global U = 1/R_tot e a perda de calor Q̇ = U·A·ΔT com ΔT = 20 K:
U_antes = 1/0,5113 ≃ 1,956 W/m²K
U_depois = 1/1,453 ≃ 0,688 W/m²K
Q̇_antes = U_antes·A·ΔT = 1,956·400·20 ≃ 15 648 W
Q̇_depois = U_depois·400·20 = 0,688·400·20 ≃ 5 510 W

Passo 5

Potência poupada:
ΔQ̇ = Q̇_antes − Q̇_depois ≃ 15 648 − 5 510 = 10 138 W

Passo 6

Energia poupada num mês (30 dias = 30·24·3600 s = 2 592 000 s):
E_poupada = ΔQ̇ · t = 10 138 W · 2 592 000 s
≃ 2,628·10^10 J
= 2,628·10^4 MJ

Passo 7

Como a caldeira tem eficiência η=0,85, o gás necessário seria
E_gás = E_poupada / η = 2,628·10^4 MJ / 0,85 ≃ 3,092·10^4 MJ

Passo 8

Multiplicar pelo custo do gás Cg = 10,07 R /MJ: Economia mensal ≃ 3,092·10^4 MJ · 10,07 R/MJ
≃ 3,114·10^5 R$

Resposta

A aplicação do isolante no dormitório traz uma economia de aproximadamente 3,11·10^5 R$ por mês.

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