O salário médio dos funcionários de uma empresa é de \mathrm{R} \ 800,00 , com desvio-padrão deã\mathrm{R} $300,00 . Qual a probabilidade de que, selecionando-se aleatoriamente um funcionário, ele receba: acima de \(\mathrm{R} \\) 500,00;

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte (informações extraídas do enunciado):
  • Salário médio (média) da população: \mu = \mathrm{R}\$\,800{,}00.
  • Desvio-padrão da população: \sigma = \mathrm{R}\$\,300{,}00.
  • Pergunta: qual a probabilidade de que, selecionando-se aleatoriamente um funcionário, ele receba acima de \mathrm{R}\$\,500{,}00?

Passo 2

Escolha do método e suposição necessária.
  • O enunciado não diz explicitamente a distribuição dos salários. Em exercícios desse tipo, a suposição padrão é que os salários seguem uma distribuição normal aproximada; isso permite usar a normal padrão (é o método mais direto e esperado para prova).
  • Vou, portanto, assumir que a variável salário X é aproximadamente normal com média \mu e desvio-padrão \sigma: X \sim N(\mu,\sigma^2).
  • Se na sua prova isso não puder ser assumido, você precisaria de mais informação; mas aqui seguiremos a hipótese usual.

Passo 3

Conceito e ferramenta que vamos usar (aula curta).
  • Distribuição Normal: uma variável aleatória X é normal com média \mu e desvio-padrão \sigma se sua densidade é a famosa curva em “sino”. Para calcular probabilidades é conveniente transformar X numa normal padrão Z.
  • Normal padrão: Z\sim N(0,1) tem média 0 e desvio-padrão 1. A função de distribuição acumulada da normal padrão é denotada por \Phi(z)=P(Z\le z).
  • Padronização (transformar para Z): para qualquer x,
Z=\frac{X-\mu}{\sigma},
ou seja, P(X > x) = P\!\left(Z > \frac{x-\mu}{\sigma}\right).
  • Propriedade da simetria da normal padrão: \Phi(-a)=1-\Phi(a) e P(Z>a)=1-\Phi(a)=\Phi(-a). Em particular, P(Z>-1)=1-\Phi(-1)=\Phi(1).

Passo 4

Aplicar a padronização ao nosso problema.
  • Queremos P(X>500) com X\sim N(\mu,\sigma^2), \mu=\mathrm{R}\$\,800, \sigma=\mathrm{R}\$\,300.
  • Calculamos o escore z:
z=\frac{500-\mu}{\sigma}=\frac{500-800}{300}=\frac{-300}{300}=-1.
  • Logo
P(X>500)=P\!\left(Z> -1\right).

Passo 5

Transformar a probabilidade usando propriedades da normal padrão e obter valor numérico.
  • Usando a simetria da normal padrão,
P\!\left(Z>-1\right)=\Phi(1),
pois P(Z>-1)=1-\Phi(-1)=1-(1-\Phi(1))=\Phi(1).
  • O valor tabelado da função de distribuição da normal padrão em 1 é \Phi(1)=0{,}8413 (valor clássico disponível em tabelas ou calculadora de normal).

Passo 6

Interpretação final e resposta percentural.
  • A probabilidade numérica é P(X>500)=0{,}8413.
  • Em porcentagem, isso corresponde a aproximadamente 84{,}13\%.
  • Interpretação em palavras: se escolhermos um funcionário ao acaso, a chance dele ganhar mais de \mathrm{R}\$\,500{,}00 é cerca de 84{,}13\%. Força — resultado alto porque a média é \mathrm{R}\$\,800 e \mathrm{R}\$\,500 está uma unidade de desvio-padrão abaixo da média.

Resposta

P(\text{salário}> \mathrm{R}\$\,500{,}00) = 0{,}8413 \approx 84{,}13\%á

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