Medindo várias vezes o diâmetro de uma célula você obteve os dados seguintes, em mm:
0,034
0,033
0,034
0,033
0,032
0,031
0,034
0,032
0,035
0,035
0,032
0,033
0,032
0,034
| 0,034 | 0,033 | 0,034 | 0,033 | 0,032 | 0,031 | 0,034 |
| 0,032 | 0,035 | 0,035 | 0,032 | 0,033 | 0,032 | 0,034 |
Passo 1
O enunciado forneceu várias medições do diâmetro de uma célula (em mm) organizadas numa tabela. Peguei os dados diretamente da tabela enviada. As medições são (em mm):
O que vamos fazer (interpretação típica de uma tarefa de laboratório / prova): estimar o valor do diâmetro (uma única melhor estimativa) e quantificar a incerteza dessa estimativa a partir das medições repetidas. Para isso precisamos:
- determinar a média amostral
(melhor estimativa do diâmetro); - calcular o desvio-padrão amostral
(medida da dispersão das medições); - calcular o erro-padrão da média
(incerteza da média); - opcionalmente construir um intervalo de confiança de
para a média usando a distribuição (pois o número de medidas é pequeno).
Número de medições:
.
Passo 2
Transformação conveniente e soma: para evitar muitos zeros, trabalho momentaneamente em micrômetros (
), lembrando que
. Então as medições em
são
Primeiro passo prático — calcular a média amostral. A fórmula da média amostral é
onde
são as medições e
é o número de medições.
Somando as medições (em
) obtém-se
Logo
Voltando para mm (dividindo por
):
Comentário didático curto: a média aritmética é a estimativa mais natural do valor verdadeiro quando as medições têm erros aleatórios com distribuição aproximadamente simétrica. Ela “centraliza” os dados.
Passo 3
Calcular o desvio-padrão amostral
. Primeiro a fórmula e o porquê:
- O desvio-padrão amostral (correcção de Bessel) mede a dispersão das medições em torno da média. A usamos com o denominador
para obter uma estimativa não tendenciosa da variância da população quando trabalhamos com uma amostra.
A fórmula é
Para facilitar os cálculos usei as medições em
. Calculei cada
e somei, obtendo
Logo a variância amostral em
é
E o desvio-padrão amostral em
é
Voltando para mm:
Breve explicação:
nos diz quão espalhadas estão as medições individuais. Não confundir
com a incerteza da média:
refere-se à dispersão individual, enquanto a incerteza da média diminui com
.
Passo 4
Calcular o erro-padrão da média
(incerteza estatística da média):
Fórmula:
Usando
e
(usando unidades
e depois convertendo):
Em mm:
Interpretação prática: essa é a incerteza padrão associada à média — se repetíssemos todo o conjunto de
medições muitas vezes, a média teria essa dispersão típica.
Passo 5
Construir um intervalo de confiança de
para a média (opcional mas útil em provas):
Porque usar
e não
: para amostras pequenas (
pequeno) e variância desconhecida usamos a distribuição
com
graus de liberdade. Aqui
. O quantil crítico para
(bilateral) é aproximadamente
A margem de erro para
é
Portanto o intervalo de confiança de
para a média é
ou seja aproximadamente
Comentário sobre arredondamento/como reportar em prova: é comum arredondar a incerteza para uma ou duas cifras significativas e então arredondar a média para a mesma casa decimal. Aqui os números essenciais que você deve saber apresentar são a média com o erro-padrão e, se pedirem intervalo de confiança, o intervalo de
.
Passo 6
Resumo numérico pronto para anotar na folha da prova (valores com notação clara):
- Média amostral:
- Desvio-padrão amostral:
- Erro-padrão da média (incerteza estatística,
):
- Intervalo de confiança de
(usando ):
Dica amiga: se a prova pedir apenas “valor do diâmetro com incerteza”, escreva a média seguida do erro-padrão, por exemplo
(incerteza tipo
). Se pedirem intervalo de confiança, use o de
acima.
Resposta
Intervalo de confiança