Medindo várias vezes o diâmetro de uma célula você obteve os dados seguintes, em mm:
0,034 0,033 0,034 0,033 0,032 0,031 0,034
0,032 0,035 0,035 0,032 0,033 0,032 0,034

Passo 1

O enunciado forneceu várias medições do diâmetro de uma célula (em mm) organizadas numa tabela. Peguei os dados diretamente da tabela enviada. As medições são (em mm):
0,034,\;0,033,\;0,034,\;0,033,\;0,032,\;0,031,\;0,034,\;0,032,\;0,035,\;0,035,\;0,032,\;0,033,\;0,032,\;0,034.
O que vamos fazer (interpretação típica de uma tarefa de laboratório / prova): estimar o valor do diâmetro (uma única melhor estimativa) e quantificar a incerteza dessa estimativa a partir das medições repetidas. Para isso precisamos:
  • determinar a média amostral \bar{x} (melhor estimativa do diâmetro);
  • calcular o desvio-padrão amostral s (medida da dispersão das medições);
  • calcular o erro-padrão da média s_{\bar{x}}=s/\sqrt{n} (incerteza da média);
  • opcionalmente construir um intervalo de confiança de 95\% para a média usando a distribuição t (pois o número de medidas é pequeno).
Número de medições: n=14.

Passo 2

Transformação conveniente e soma: para evitar muitos zeros, trabalho momentaneamente em micrômetros ( \mu\text{m}), lembrando que 1\\ \text{mm}=1000\\ \mu\text{m}. Então as medições em \mu\text{m} são
34,\;33,\;34,\;33,\;32,\;31,\;34,\;32,\;35,\;35,\;32,\;33,\;32,\;34.
Primeiro passo prático — calcular a média amostral. A fórmula da média amostral é
\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i,
onde x_i são as medições e n é o número de medições.
Somando as medições (em \mu\text{m}) obtém-se
\sum_{i=1}^{14} x_i = 464\\ \mu\text{m}.
Logo
\bar{x}=\frac{464}{14}=33,142857\\ \mu\text{m}.
Voltando para mm (dividindo por 1000):
\bar{x}=0,033142857\\ \text{mm}.
Comentário didático curto: a média aritmética é a estimativa mais natural do valor verdadeiro quando as medições têm erros aleatórios com distribuição aproximadamente simétrica. Ela “centraliza” os dados.

Passo 3

Calcular o desvio-padrão amostral s. Primeiro a fórmula e o porquê:
  • O desvio-padrão amostral (correcção de Bessel) mede a dispersão das medições em torno da média. A usamos com o denominador n-1 para obter uma estimativa não tendenciosa da variância da população quando trabalhamos com uma amostra.
A fórmula é
s^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}\bigl(x_i-\bar{x}\bigr)^2, \qquad s=\sqrt{s^2}.
Para facilitar os cálculos usei as medições em \mu\text{m}. Calculei cada (x_i-\bar{x})^2 e somei, obtendo
\sum_{i=1}^{14}\bigl(x_i-\bar{x}\bigr)^2 = 19,714285715\\ \bigl(\mu\text{m}\bigr)^2.
Logo a variância amostral em \mu\text{m}^2 é
s^2=\frac{19,714285715}{14-1}=\frac{19,714285715}{13}=1,5164835165\\ \bigl(\mu\text{m}\bigr)^2.
E o desvio-padrão amostral em \mu\text{m} é
s=\sqrt{1,5164835165}=1,231435\\ \mu\text{m}.
Voltando para mm:
s=0,001231435\\ \text{mm}.
Breve explicação: s nos diz quão espalhadas estão as medições individuais. Não confundir s com a incerteza da média: s refere-se à dispersão individual, enquanto a incerteza da média diminui com n.

Passo 4

Calcular o erro-padrão da média s_{\bar{x}} (incerteza estatística da média):
Fórmula:
s_{\bar{x}}=\frac{s}{\sqrt{n}}.
Usando s=1,231435\\ \mu\text{m} e n=14 (usando unidades \mu\text{m} e depois convertendo):
s_{\bar{x}}=\frac{1,231435}{\sqrt{14}}=0,329176\\ \mu\text{m}.
Em mm:
s_{\bar{x}}=0,000329176\\ \text{mm}\approx 3,29\times10^{-4}\\ \text{mm}.
Interpretação prática: essa é a incerteza padrão associada à média — se repetíssemos todo o conjunto de 14 medições muitas vezes, a média teria essa dispersão típica.

Passo 5

Construir um intervalo de confiança de 95\% para a média (opcional mas útil em provas):
Porque usar t e não z: para amostras pequenas ( n pequeno) e variância desconhecida usamos a distribuição t com n-1 graus de liberdade. Aqui n-1=13. O quantil crítico para 95\% (bilateral) é aproximadamente
t_{0,975;13}\approx 2,160.
A margem de erro para 95\% é
\Delta_{95}=t_{0,975;13}\,s_{\bar{x}} \approx 2,160\times 0,000329176\\ \text{mm}=0,0007112\\ \text{mm}.
Portanto o intervalo de confiança de 95\% para a média é
\bar{x}\pm\Delta_{95}=0,033142857\\ \text{mm}\pm 0,0007112\\ \text{mm},
ou seja aproximadamente
(0,03243\\ \text{mm},\;0,03385\\ \text{mm}).
Comentário sobre arredondamento/como reportar em prova: é comum arredondar a incerteza para uma ou duas cifras significativas e então arredondar a média para a mesma casa decimal. Aqui os números essenciais que você deve saber apresentar são a média com o erro-padrão e, se pedirem intervalo de confiança, o intervalo de 95\%.

Passo 6

Resumo numérico pronto para anotar na folha da prova (valores com notação clara):
  • Média amostral:
\bar{x}=0,033142857\\ \text{mm}\approx 0,03314\\ \text{mm}.
  • Desvio-padrão amostral:
s=0,001231435\\ \text{mm}\approx 0,00123\\ \text{mm}.
  • Erro-padrão da média (incerteza estatística, 1\sigma):
s_{\bar{x}}=0,000329176\\ \text{mm}\approx 0,00033\\ \text{mm}.
  • Intervalo de confiança de 95\% (usando t_{0,975;13}\approx2,160):
0,03314\\ \text{mm}\pm 0,00071\\ \text{mm}\quad\text{ou}\quad(0,03243\\ \text{mm},\;0,03385\\ \text{mm}).
Dica amiga: se a prova pedir apenas “valor do diâmetro com incerteza”, escreva a média seguida do erro-padrão, por exemplo \,0,03314\pm0,00033\\ \text{mm} (incerteza tipo 1\sigma). Se pedirem intervalo de confiança, use o de 95\% acima.

Resposta

\bar{x}=0,03314\\ \text{mm}\pm 0,00033\\ \text{mm} (erro-padrão, 1\sigma)
Intervalo de confiança 95\%: 0,03314\\ \text{mm}\pm 0,00071\\ \text{mm} (ou 0,03243\\ \text{mm} a 0,03385\\ \text{mm})

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