Doze lâmpadas são testadas para verificar se duram pelo menos o tempo afirmado pelo fabricante. Três lâmpadas falham no teste. Duas lâmpadas são selecionadas aleatoriamente, sem reposição.
Encontre a probabilidade de que ambas as lâmpadas tenham passado no teste.
Encontre a probabilidade de que ambas as lâmpadas tenham passado no teste.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
- Há
lâmpadas testadas. -
dessas lâmpadas falharam no teste. - Logo, o número de lâmpadas que passaram no teste é
. - Duas lâmpadas são selecionadas aleatoriamente, sem reposição (ou seja, a segunda escolha depende da primeira).
A pergunta é: qual a probabilidade de que ambas as lâmpadas selecionadas tenham passado no teste?
Passo 2
Estratégia escolhida (e por que): aqui o jeito mais direto é usar a fórmula da probabilidade para eventos em sequência sem reposição,
onde:
-
é o evento “primeira lâmpada escolhida passou”, -
é o evento “segunda lâmpada escolhida passou dado que a primeira passou”.
Essa abordagem é simples e exige apenas raciocínio sobre quantas lâmpadas favoráveis e quantas totais existem em cada escolha. Vou também fazer uma verificação pelo método combinatório (contagem) para reforçar o entendimento.
Passo 3
Calcular
, a probabilidade da primeira lâmpada escolhida ter passado.
Há lâmpadas que passaram entre
no total, portanto
Há
Simplificando a fração dá
Passo 4
Calcular
, a probabilidade da segunda lâmpada escolhida ter passado dado que a primeira passou.
Se a primeira escolhida passou, restam lâmpadas que passaram e restam
lâmpadas no total. Então
Se a primeira escolhida passou, restam
Passo 5
Aplicar a fórmula da Passo 2 para obter a probabilidade conjunta:
Calculemos e simplifiquemos passo a passo:
Dividindo numerador e denominador por
:
Passo 6
Verificação pelo método combinatório (mesma ideia, só contado de outra forma): a probabilidade de escolher 2 lâmpadas que passaram é o número de maneiras de escolher 2 entre as
que passaram dividido pelo número de maneiras de escolher 2 entre as
totais:
confirmando o resultado anterior.
Passo 7
Interpretação: a probabilidade de que ambas as lâmpadas selecionadas tenham passado no teste é
, isto é aproximadamente
(ou
). Vai dar tudo certo — respira, esse tipo de questão cai muito em prova e agora já sabes duas formas de resolver!