Doze lâmpadas são testadas para verificar se duram pelo menos o tempo afirmado pelo fabricante. Três lâmpadas falham no teste. Duas lâmpadas são selecionadas aleatoriamente, sem reposição.
Encontre a probabilidade de que ambas as lâmpadas tenham passado no teste.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • 12 lâmpadas testadas.
  • 3 dessas lâmpadas falharam no teste.
  • Logo, o número de lâmpadas que passaram no teste é 12-3=9.
  • Duas lâmpadas são selecionadas aleatoriamente, sem reposição (ou seja, a segunda escolha depende da primeira).
    A pergunta é: qual a probabilidade de que ambas as lâmpadas selecionadas tenham passado no teste?

Passo 2

Estratégia escolhida (e por que): aqui o jeito mais direto é usar a fórmula da probabilidade para eventos em sequência sem reposição,
P(A\cap B)=P(A)\,P(B\mid A),
onde:
  • A é o evento “primeira lâmpada escolhida passou”,
  • B é o evento “segunda lâmpada escolhida passou dado que a primeira passou”.
    Essa abordagem é simples e exige apenas raciocínio sobre quantas lâmpadas favoráveis e quantas totais existem em cada escolha. Vou também fazer uma verificação pelo método combinatório (contagem) para reforçar o entendimento.

Passo 3

Calcular P(A), a probabilidade da primeira lâmpada escolhida ter passado.
9 lâmpadas que passaram entre 12 no total, portanto
P(A)=\frac{9}{12}.
Simplificando a fração dá
P(A)=\frac{3}{4}.

Passo 4

Calcular P(B\mid A), a probabilidade da segunda lâmpada escolhida ter passado dado que a primeira passou.
Se a primeira escolhida passou, restam 9-1=8 lâmpadas que passaram e restam 12-1=11 lâmpadas no total. Então
P(B\mid A)=\frac{8}{11}.

Passo 5

Aplicar a fórmula da Passo 2 para obter a probabilidade conjunta:
P(\text{ambas passaram})=P(A)\,P(B\mid A)=\frac{9}{12}\cdot\frac{8}{11}.
Calculemos e simplifiquemos passo a passo:
\frac{9}{12}\cdot\frac{8}{11}=\frac{9\cdot 8}{12\cdot 11}=\frac{72}{132}.
Dividindo numerador e denominador por 12:
\frac{72}{132}=\frac{6}{11}.

Passo 6

Verificação pelo método combinatório (mesma ideia, só contado de outra forma): a probabilidade de escolher 2 lâmpadas que passaram é o número de maneiras de escolher 2 entre as 9 que passaram dividido pelo número de maneiras de escolher 2 entre as 12 totais:
\frac{\binom{9}{2}}{\binom{12}{2}}=\frac{\dfrac{9\cdot 8}{2}}{\dfrac{12\cdot 11}{2}}=\frac{9\cdot 8}{12\cdot 11}=\frac{6}{11},
confirmando o resultado anterior.

Passo 7

Interpretação: a probabilidade de que ambas as lâmpadas selecionadas tenham passado no teste é \dfrac{6}{11}, isto é aproximadamente 0,5455 (ou 54{,}55\%). Vai dar tudo certo — respira, esse tipo de questão cai muito em prova e agora já sabes duas formas de resolver!

Resposta

\dfrac{6}{11}\approx 0,5455

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