Doze pessoas são divididas em três grupos de 4. Qual é a probabilidade de duas determinadas dessas pessoas ficarem no mesmo grupo?

Passo 1

Resumo do enunciado: temos 12 pessoas e vamos dividi-las aleatoriamente em três grupos de 4. Queremos saber a probabilidade de duas pessoas específicas (digamos A e B) ficarem no mesmo grupo.
Conteúdo da matéria: Probabilidade básica e Combinatória (combinações).
O que vamos precisar:
  • Definir número de resultados possíveis (total) e número de resultados favoráveis.
  • Usar a fórmula de combinação binomnk = n!k!,(n-k)!,

Passo 2

Entendendo a ideia de probabilidade:
Probabilidade = (número de casos favoráveis) ÷ (número de casos possíveis).
Aqui, “casos possíveis” são todas as formas de escolher os 3 colegas que vão com A no mesmo grupo, dentre as outras 11 pessoas.
Então:
Total de jeitos = binom113,

Passo 3

Agora, “casos favoráveis” são aqueles em que B está junto com A. Isso significa que, além de B, precisamos escolher mais 2 pessoas de um total de 10 (as 11 sem contar A, mas excluindo B sobrou 10).
Então:
Jeitos favoráveis = binom102, á

Passo 4

Vamos calcular esses valores:
binom113 = 11!3!8! = 11times10times93times2times1 = 165,,
binom102 = 10!2!8! = 10times92times1 = 45,
Agora a probabilidade é
P = favoráveispossíveis = 45165, áí

Passo 5

Basta simplificar a fração:
45165 = 45div15165div15 = 311,

Resposta

A probabilidade de as duas pessoas ficarem no mesmo grupo é tfrac311,.

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