Suponha que um sistema de fila tenha dois servidores, distribuição exponencial dos tempos entre chegadas (média de 45 minutos) e distribuiçảo exponencial dos tempos de serviço (média de 30 minutos). Além disso, acabou de chegar um cliente às 08 horas da manhâ. Responda ( 3 , 5 pontos):
a) Qual a probabilidade de que a próxima chegada ocorra depois das 10:15 horas?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um sistema de fila com dois servidores. A gente sabe que o tempo entre chegadas dos clientes segue uma distribuição exponencial com média de 45 minutos, e o tempo de atendimento também é exponencial, com média de 30 minutos. O cliente chegou às 08:00 horas e queremos saber qual a probabilidade de que a próxima chegada ocorra depois das 10:15 horas. Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade relacionados à distribuição exponencial.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular quanto tempo se passa das 08:00 até as 10:15. Das 08:00 às 10:00 são 2 horas, ou seja, 120 minutos. Mais 15 minutos até as 10:15, totalizando 135 minutos.

Passo 3

Sabemos que o tempo entre chegadas segue uma distribuição exponencial com média de 45 minutos. A distribuição exponencial é definida pela função de densidade:
f(t) = lambda e^-lambda t
Onde:
  • $ \lambda $ é a taxa de chegada.
  • $ t $ é o tempo.
A média $ \mu $ da distribuição exponencial é $ \mu = \frac{1}{\lambda} $. Então, podemos encontrar $ \lambda $:
lambda

Passo 4

Queremos encontrar a probabilidade de que o tempo até a próxima chegada ($ T $) seja maior que 135 minutos, ou seja, $ P(T > 135) $.
A função de sobrevivência (probabilidade de o tempo ser maior que $ t $) para a distribuição exponencial é:
T
Substituindo os valores que temos:
P(T > 135)

Passo 5

Agora, vamos calcular o valor de $ e^{-3} $:
e^-3

Resposta

A probabilidade de que a próxima chegada ocorra depois das 10:15 horas é aproximadamente 4,98%.

Exercícios relacionados