Suponha que um sistema de fila tenha dois servidores, distribuição exponencial dos tempos entre chegadas (média de 45 minutos) e distribuiçảo exponencial dos tempos de serviço (média de 30 minutos). Além disso, acabou de chegar um cliente às 08 horas da manhâ. Responda (
pontos):
a) Qual a probabilidade de que a próxima chegada ocorra depois das 10:15 horas?
a) Qual a probabilidade de que a próxima chegada ocorra depois das 10:15 horas?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um sistema de fila com dois servidores. A gente sabe que o tempo entre chegadas dos clientes segue uma distribuição exponencial com média de 45 minutos, e o tempo de atendimento também é exponencial, com média de 30 minutos. O cliente chegou às 08:00 horas e queremos saber qual a probabilidade de que a próxima chegada ocorra depois das 10:15 horas. Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade relacionados à distribuição exponencial.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular quanto tempo se passa das 08:00 até as 10:15. Das 08:00 às 10:00 são 2 horas, ou seja, 120 minutos. Mais 15 minutos até as 10:15, totalizando 135 minutos.
Passo 3
Sabemos que o tempo entre chegadas segue uma distribuição exponencial com média de 45 minutos. A distribuição exponencial é definida pela função de densidade:
Onde:
- $ \lambda $ é a taxa de chegada.
- $ t $ é o tempo.
A média $ \mu $ da distribuição exponencial é $ \mu = \frac{1}{\lambda} $. Então, podemos encontrar $ \lambda $:
Passo 4
Queremos encontrar a probabilidade de que o tempo até a próxima chegada ($ T $) seja maior que 135 minutos, ou seja, $ P(T > 135) $.
A função de sobrevivência (probabilidade de o tempo ser maior que $ t $) para a distribuição exponencial é:
Substituindo os valores que temos:
Passo 5
Agora, vamos calcular o valor de $ e^{-3} $:
Resposta
A probabilidade de que a próxima chegada ocorra depois das 10:15 horas é aproximadamente 4,98%.