Um drone se desloca em linha reta no espaço com velocidade constante. No instante t= 0 s, ele está na posição r0=(10,5,20) metros. Sua velocidade é v=(2,-1,4) m / s.
a) Parametrize a posição r(t) do drone em função do tempo t.
b) Determine em qual instante t o drone atinge a altura z=36 m.
c) Calcule a distáncia percorrida pelo drone entre t=0 s e t=5 s.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de movimento uniforme aqui, onde um drone se move em linha reta com velocidade constante. A gente precisa:
a) Escrever a posição do drone em função do tempo.
b) Descobrir em que tempo o drone chega a uma certa altura.
c) Calcular a distância que o drone percorre em 5 segundos.
Para resolver isso, vamos usar conceitos básicos de cinemática vetorial, que trata de como os objetos se movem no espaço.

Passo 2

Vamos começar com a letra a): parametrizar a posição r(t) do drone em função do tempo t.
A posição inicial do drone é r0 = (10, 5, 20) metros e a velocidade constante é v = (2, -1, 4) m/s.
A fórmula para a posição em função do tempo é:
r(t) = r0 + v cdot t
Isso significa que, para cada componente (x, y, z), a posição no tempo t é a posição inicial mais a velocidade multiplicada pelo tempo.
Então, substituindo os valores:
r(t) = (10 + 2t, 5 - t, 20 + 4t)

Passo 3

Agora, vamos para a letra b): determinar em qual instante t o drone atinge a altura z = 36 metros.
Aqui, a gente quer saber quando a componente z da posição r(t) é igual a 36.
Da expressão que encontramos:
z(t) = 20 + 4t
Queremos resolver para t quando z(t) = 36:
20 + 4t = 36
Subtraindo 20 de ambos os lados:
4t = 16
Dividindo por 4:
t = 4 segundos

Passo 4

Por fim, vamos para a letra c): calcular a distância percorrida pelo drone entre t = 0 s e t = 5 s.
Como o drone está se movendo com velocidade constante, a distância percorrida é a velocidade multiplicada pelo tempo.
Primeiro, vamos calcular a magnitude da velocidade v:
|v| = raiz2^2 + (-1)^2 + 4^2 = raiz4 + 1 + 16 = raiz21
Então, a distância d percorrida em 5 segundos é:
d = |v| cdot t = raiz21 cdot 5 approx 4.583 cdot 5 = 22.915 metros

Resposta

a) A posição do drone em função do tempo é r(t) = (10 + 2t, 5 - t, 20 + 4t) metros.
b) O drone atinge a altura z = 36 metros no instante t = 4 segundos.
c) A distância percorrida pelo drone entre t = 0 s e t = 5 s é aproximadamente 22.915 metros.

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