On drop #16, Millikan measured the following total charges, among others, at different times:
\begin{array}{lll} 25.41 \times 10^{-19} \mathrm{C} & 17.47 \times 10^{-19} \mathrm{C} & 12.70 \times 10^{-19} \mathrm{C} \\\\ 20.64 \times 10^{-19} \mathrm{C} & 19.06 \times 10^{-19} \mathrm{C} & 14.29 \times 10^{-19} \mathrm{C} \end{array}
What value of the fundamental quantized charge e do these numbers imply?

Passo 1

O enunciado dá seis medidas de carga total, todas na forma
\bigl\{Q_i\bigr\} = \{25{,}41,\;20{,}64,\;19{,}06,\;17{,}47,\;14{,}29,\;12{,}70\}\times10^{-19}\mathrm{C}
e pede o valor do “quantum” de carga elétrica e. O conteúdo aqui é o princípio de Millikan, que diz que cada carga medida é um múltiplo inteiro de e, ou seja
Q_i = n_i\,e,\quad n_i\in\mathbb{Z}.

Passo 2

Para extrair e, podemos notar que as diferenças entre as cargas consecutivas devem ser múltiplas de e. Vamos calcular algumas dessas diferenças em unidades de 10^{-19}\mathrm{C}:
20{,}64 - 19{,}06 = 1{,}58,\quad 19{,}06 - 17{,}47 = 1{,}59,\quad 14{,}29 - 12{,}70 = 1{,}59.
Esses valores são todos próximos de 1{,}59\times10^{-19}\mathrm{C}, sugerindo que e\approx1{,}59\times10^{-19}\mathrm{C}.

Passo 3

Com essa estimativa de e, dividimos cada Q_i por 1{,}59\times10^{-19}\mathrm{C} para obter os possíveis inteiros n_i:
\begin{aligned} \frac{25{,}41}{1{,}59}&\approx15{,}98\approx16,\quad \frac{20{,}64}{1{,}59}\approx12{,}98\approx13,\\\ \frac{19{,}06}{1{,}59}&\approx11{,}99\approx12,\quad \frac{17{,}47}{1{,}59}\approx10{,}99\approx11,\\\ \frac{14{,}29}{1{,}59}&\approx8{,}99\approx9,\quad \frac{12{,}70}{1{,}59}\approx7{,}99\approx8. \end{aligned}
Logo, \{n_i\}=\{16,13,12,11,9,8\}.

Passo 4

Agora calculamos de forma mais precisa cada e_i = Q_i/n_i, em coulombs:
\begin{aligned} e_1&=\frac{25{,}41\times10^{-19}}{16}=1{,}5881\times10^{-19},\\\ e_2&=\frac{20{,}64\times10^{-19}}{13}=1{,}5877\times10^{-19},\\\ e_3&=\frac{19{,}06\times10^{-19}}{12}=1{,}5883\times10^{-19},\\\ e_4&=\frac{17{,}47\times10^{-19}}{11}=1{,}5882\times10^{-19},\\\ e_5&=\frac{14{,}29\times10^{-19}}{9}=1{,}5878\times10^{-19},\\\ e_6&=\frac{12{,}70\times10^{-19}}{8}=1{,}5875\times10^{-19}. \end{aligned}

Passo 5

Como todas as {e_i} são muito próximas, tomamos a média aritmética:
e \approx \frac{1{,}5881 + 1{,}5877 + 1{,}5883 + 1{,}5882 + 1{,}5878 + 1{,}5875}{6}\times10^{-19}\mathrm{C} \approx1{,}588\times10^{-19}\mathrm{C}.

Resposta

e \approx 1{,}59\times10^{-19}\,\mathrm{C}.

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