(a) If 5 percent of the power of a 100-\mathrm{W} bulb is radiated in the visible spectrum, how many visible photons are radiated per second? (b) If the bulb is a point source radiating equally in all directions, what is the flux of photons (number per unit time per unit area) at a distance of 2 m ?

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
(a) o número de fótons visíveis emitidos por segundo por uma lâmpada de 100\\ \mathrm W, sabendo que apenas 5\% dessa potência está no espectro visível;
(b) o fluxo desses fótons (número por segundo por área) a 2\\ \mathrm m da lâmpada, assumindo-a como fonte pontual isotrópica.
Para resolver vamos precisar de:
  • converter potencia em número de fótons usando a energia de um fóton visível médio;
  • usar a fórmula do fluxo para uma fonte pontual: \Phi = N/(4\pi r^2).

Passo 2

Calculamos a potência radiada no visível. A lâmpada emite 100\\ \mathrm W, mas só 5\% disso é visível. Logo,
P_{\rm vis} = 0{,}05 \times 100\\ \mathrm W = 5\\ \mathrm W.

Passo 3

Estimamos a energia de um fóton visível médio. Tomando comprimento de onda típico \lambda = 550\\ \mathrm{nm}, temos
E_{\rm fóton} = \frac{h\,c}{\lambda}ó
h = 6{,}63\times10^{-34}\\ \mathrm{J\cdot s},\quad c = 3{,}00\times10^{8}\\ \mathrm{m/s},
E_{\rm fóton} = \frac{6{,}63\times10^{-34}\times3{,}00\times10^{8}}{550\times10^{-9}}\approx3{,}61\times10^{-19}\\ \mathrm J.ó

Passo 4

O número de fótons visíveis emitidos por segundo é
N = \frac{P_{\rm vis}}{E_{\rm fóton}} = \frac{5\\ \mathrm J/s}{3{,}61\times10^{-19}\\ \mathrm J} \approx1{,}38\times10^{19}\\ \mathrm{s^{-1}}.ó

Passo 5

Para achar o fluxo de fótons a r=2\\ \mathrm m de distância, dividimos N pela área de uma esfera de raio 2\\ \mathrm m:
\Phi = \frac{N}{4\pi r^{2}} = \frac{1{,}38\times10^{19}}{4\pi(2)^{2}} = \frac{1{,}38\times10^{19}}{16\pi} \approx2{,}75\times10^{17}\\ \mathrm{m^{-2}\,s^{-1}}.

Resposta

(a) N\approx1{,}4\times10^{19} fótons por segundo.
(b) \Phi\approx2{,}8\times10^{17} fótons por segundo por metro quadrado.

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