Duas amostras, A1 com 38 lâmpadas, e
com 52 lâmpadas, foram obtidas de lotes muito numerosos
e
. As médias dos tempos de vida das lâmpadas observadas foram respectivamente de 1320 e 1480 horas. Suponha que o desvio padrão do tempo de vida de uma lâmpada seja 180 horas.
(a) Teste a nível de significância de
a hipótese (b) Construa um intervalo de confiança de
para o valor médio do tempo de vida das lâmpadas do lote
.
(a) Teste a nível de significância de
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos duas amostras de lâmpadas: a amostra A₁ com 38 lâmpadas e a amostra A₂ com 52 lâmpadas. As médias dos tempos de vida observadas foram 1320 horas para A₁ e 1480 horas para A₂. Sabemos também que o desvio padrão do tempo de vida de uma lâmpada é 180 horas. A gente vai trabalhar com estatística inferencial aqui, especificamente com testes de hipóteses e intervalo de confiança para médias. Vamos precisar usar o teste z para compararmos as médias e construir um intervalo de confiança para o lote L₁.
Passo 2
Primeiro, vamos para a parte (a): Testar, ao nível de significância de 1%, a hipótese dada. Geralmente, queremos saber se há diferença significativa entre as médias das duas amostras. Então, nossa hipótese nula (H₀) será que a média de L₁ é igual à média de L₂, ou seja, H₀: μ₁ = μ₂. A hipótese alternativa (H₁) será que as médias são diferentes, H₁: μ₁ ≠ μ₂.
Passo 3
Para testar essa hipótese, vamos usar o teste z para a diferença entre duas médias, já que conhecemos o desvio padrão das populações. A fórmula do teste z é:
Onde:
-
horas -
horas -
horas -
-
Passo 4
Vamos calcular o denominador primeiro:
Passo 5
Agora, calculamos o valor de z:
Passo 6
No nível de significância de 1%, o valor crítico para um teste bicaudal é aproximadamente ±2.576. Como nosso z calculado (-4.16) está além desse valor crítico (em valor absoluto), rejeitamos a hipótese nula.
Passo 7
Isso significa que há evidências suficientes para afirmar, com 99% de confiança, que há uma diferença significativa entre as médias dos tempos de vida das lâmpadas dos lotes L₁ e L₂.
Passo 8
Agora, vamos para a parte (b): Construir um intervalo de confiança de 95% para a média do tempo de vida das lâmpadas do lote L₁. Para isso, usamos a fórmula do intervalo de confiança:
Onde:
-
horas -
para 95% de confiança é 1.96 -
horas -
Passo 9
Calculando o erro padrão:
Passo 10
Agora, multiplicamos pelo valor crítico:
Passo 11
Finalmente, construímos o intervalo de confiança:
Resposta
(a) Rejeitamos a hipótese nula ao nível de significância de 1%, indicando que há uma diferença significativa entre as médias dos lotes L₁ e L₂.
(b) O intervalo de confiança de 95% para a média do tempo de vida das lâmpadas do lote L₁ é aproximadamente entre 1262,78 horas e 1377,22 horas.
(b) O intervalo de confiança de 95% para a média do tempo de vida das lâmpadas do lote L₁ é aproximadamente entre 1262,78 horas e 1377,22 horas.