Duas amostras, A1 com 38 lâmpadas, e A2 com 52 lâmpadas, foram obtidas de lotes muito numerosos L1 e L2. As médias dos tempos de vida das lâmpadas observadas foram respectivamente de 1320 e 1480 horas. Suponha que o desvio padrão do tempo de vida de uma lâmpada seja 180 horas.
(a) Teste a nível de significância de 1 % a hipótese (b) Construa um intervalo de confiança de 95 % para o valor médio do tempo de vida das lâmpadas do lote L1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos duas amostras de lâmpadas: a amostra A₁ com 38 lâmpadas e a amostra A₂ com 52 lâmpadas. As médias dos tempos de vida observadas foram 1320 horas para A₁ e 1480 horas para A₂. Sabemos também que o desvio padrão do tempo de vida de uma lâmpada é 180 horas. A gente vai trabalhar com estatística inferencial aqui, especificamente com testes de hipóteses e intervalo de confiança para médias. Vamos precisar usar o teste z para compararmos as médias e construir um intervalo de confiança para o lote L₁.

Passo 2

Primeiro, vamos para a parte (a): Testar, ao nível de significância de 1%, a hipótese dada. Geralmente, queremos saber se há diferença significativa entre as médias das duas amostras. Então, nossa hipótese nula (H₀) será que a média de L₁ é igual à média de L₂, ou seja, H₀: μ₁ = μ₂. A hipótese alternativa (H₁) será que as médias são diferentes, H₁: μ₁ ≠ μ₂.

Passo 3

Para testar essa hipótese, vamos usar o teste z para a diferença entre duas médias, já que conhecemos o desvio padrão das populações. A fórmula do teste z é:
z = (barX1 - barX2)raizsigma^2n1 + sigma^2n2
Onde:
  • barX1 = 1320 horas
  • barX2 = 1480 horas
  • sigma = 180 horas
  • n1 = 38
  • n2 = 52

Passo 4

Vamos calcular o denominador primeiro:
raiz180^238 + 180^252 = raiz3240038 + 3240052
= raiz852.63 + 623.08
= raiz1475.71
approx 38.42

Passo 5

Agora, calculamos o valor de z:
z = 1320 - 148038.42 = -16038.42 approx -4.16

Passo 6

No nível de significância de 1%, o valor crítico para um teste bicaudal é aproximadamente ±2.576. Como nosso z calculado (-4.16) está além desse valor crítico (em valor absoluto), rejeitamos a hipótese nula.

Passo 7

Isso significa que há evidências suficientes para afirmar, com 99% de confiança, que há uma diferença significativa entre as médias dos tempos de vida das lâmpadas dos lotes L₁ e L₂.

Passo 8

Agora, vamos para a parte (b): Construir um intervalo de confiança de 95% para a média do tempo de vida das lâmpadas do lote L₁. Para isso, usamos a fórmula do intervalo de confiança:
barX pm zalpha/2 times sigmaraizn
Onde:
  • barX = 1320 horas
  • zalpha/2 para 95% de confiança é 1.96
  • sigma = 180 horas
  • n = 38

Passo 9

Calculando o erro padrão:
180raiz38 approx 1806.16 approx 29.22

Passo 10

Agora, multiplicamos pelo valor crítico:
1.96 times 29.22 approx 57.22

Passo 11

Finalmente, construímos o intervalo de confiança:
1320 - 57.22 = 1262.78
1320 + 57.22 = 1377.22

Resposta

(a) Rejeitamos a hipótese nula ao nível de significância de 1%, indicando que há uma diferença significativa entre as médias dos lotes L₁ e L₂.
(b) O intervalo de confiança de 95% para a média do tempo de vida das lâmpadas do lote L₁ é aproximadamente entre 1262,78 horas e 1377,22 horas.

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