Para estudar a favorabilidade de um determinado projeto de ornato, recolheu-se a opinião de 860 indivíduos, tendo 387 manifestado-se favoráveis ao projeto. No seguinte més, consultando a 950 indivíduos obtiveram-se 456 respostas favoráveis. (a) A nível de significância de
pode-se considerar que, na segunda consulta, metade dos indivíduos era favorável ao projeto? (b) Ao nível de significância de
, pode-se considerar que houve um aumento na proporção de respostas favoráveis ao projeto um més depois?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente está lidando com estatística, especificamente com testes de hipóteses para proporções. A ideia aqui é verificar se a proporção de pessoas favoráveis ao projeto mudou entre duas pesquisas realizadas em meses diferentes. No primeiro mês, pesquisamos 860 pessoas e 387 foram favoráveis. No segundo mês, pesquisamos 950 pessoas e 456 foram favoráveis.
Passo 2
Parte (a): Queremos saber se, no segundo mês, metade das pessoas pesquisadas era favorável ao projeto, usando um nível de significância de 1%.
Primeiro, vamos estabelecer as hipóteses:
- Hipótese Nula (H₀): A proporção de favoráveis no segundo mês é igual a 50%, ou seja, $ p = 0,5 $.
- Hipótese Alternativa (H₁): A proporção de favoráveis no segundo mês não é igual a 50%, ou seja, $ p \neq 0,5 $.
Passo 3
Agora, vamos calcular a proporção observada no segundo mês:
Também precisamos do valor esperado sob a hipótese nula, que é 0,5.
Passo 4
Vamos calcular o erro padrão da proporção usando a fórmula:
Onde:
- $ p_0 = 0,5 $ (proporção segundo a hipótese nula)
- $ n = 950 $ (tamanho da amostra)
Passo 5
Em seguida, calculamos o valor do teste z:
Passo 6
Vamos determinar o valor crítico para um teste bicaudal com nível de significância de 1%. Para isso, consultamos a tabela z e encontramos que os valores críticos são aproximadamente $ \pm 2,576 $.
Passo 7
Comparando o valor calculado de z com os valores críticos:
Como o valor de z está dentro da região de aceitação, não rejeitamos a hipótese nula.
Passo 8
Parte (b): Agora, queremos verificar se houve um aumento na proporção de respostas favoráveis no segundo mês, usando um nível de significância de 5%.
As hipóteses são:
- Hipótese Nula (H₀): A proporção de favoráveis no segundo mês é igual ou menor que no primeiro mês, $ p \leq \frac{387}{860} \approx 0,45 $.
- Hipótese Alternativa (H₁): A proporção de favoráveis no segundo mês é maior que no primeiro mês, $ p > 0,45 $.
Passo 9
Calculamos a proporção observada no segundo mês:
E a proporção do primeiro mês é aproximadamente 0,45.
Passo 10
Calculamos o erro padrão usando a proporção do primeiro mês:
Passo 11
Calculamos o valor do teste z:
Passo 12
Determina-se o valor crítico para um teste unilateral à direita com nível de significância de 5%. Consultando a tabela z, o valor crítico é aproximadamente 1,645.
Passo 13
Comparando o valor calculado de z com o valor crítico:
Como o valor de z está na região de rejeição, rejeitamos a hipótese nula.
Resposta
Parte (b): Com um nível de significância de 5%, há evidências suficientes para concluir que houve um aumento na proporção de respostas favoráveis ao projeto no segundo mês.