Para estudar a favorabilidade de um determinado projeto de ornato, recolheu-se a opinião de 860 indivíduos, tendo 387 manifestado-se favoráveis ao projeto. No seguinte més, consultando a 950 indivíduos obtiveram-se 456 respostas favoráveis. (a) A nível de significância de 1 % pode-se considerar que, na segunda consulta, metade dos indivíduos era favorável ao projeto? (b) Ao nível de significância de 5 %, pode-se considerar que houve um aumento na proporção de respostas favoráveis ao projeto um més depois?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente está lidando com estatística, especificamente com testes de hipóteses para proporções. A ideia aqui é verificar se a proporção de pessoas favoráveis ao projeto mudou entre duas pesquisas realizadas em meses diferentes. No primeiro mês, pesquisamos 860 pessoas e 387 foram favoráveis. No segundo mês, pesquisamos 950 pessoas e 456 foram favoráveis.

Passo 2

Parte (a): Queremos saber se, no segundo mês, metade das pessoas pesquisadas era favorável ao projeto, usando um nível de significância de 1%.
Primeiro, vamos estabelecer as hipóteses:
  • Hipótese Nula (H₀): A proporção de favoráveis no segundo mês é igual a 50%, ou seja, $ p = 0,5 $.
  • Hipótese Alternativa (H₁): A proporção de favoráveis no segundo mês não é igual a 50%, ou seja, $ p \neq 0,5 $.

Passo 3

Agora, vamos calcular a proporção observada no segundo mês:
p = 456950 approx 0,480
Também precisamos do valor esperado sob a hipótese nula, que é 0,5.

Passo 4

Vamos calcular o erro padrão da proporção usando a fórmula:
SE = raizp0 (1 - p0)n = raiz0,5 times 0,5950 approx 0,0162
Onde:
  • $ p_0 = 0,5 $ (proporção segundo a hipótese nula)
  • $ n = 950 $ (tamanho da amostra)

Passo 5

Em seguida, calculamos o valor do teste z:
z = p - p0SE = 0,480 - 0,50,0162 approx -1,234

Passo 6

Vamos determinar o valor crítico para um teste bicaudal com nível de significância de 1%. Para isso, consultamos a tabela z e encontramos que os valores críticos são aproximadamente $ \pm 2,576 $.

Passo 7

Comparando o valor calculado de z com os valores críticos:
-2,576 < -1,234 < 2,576
Como o valor de z está dentro da região de aceitação, não rejeitamos a hipótese nula.

Passo 8

Parte (b): Agora, queremos verificar se houve um aumento na proporção de respostas favoráveis no segundo mês, usando um nível de significância de 5%.
As hipóteses são:
  • Hipótese Nula (H₀): A proporção de favoráveis no segundo mês é igual ou menor que no primeiro mês, $ p \leq \frac{387}{860} \approx 0,45 $.
  • Hipótese Alternativa (H₁): A proporção de favoráveis no segundo mês é maior que no primeiro mês, $ p > 0,45 $.

Passo 9

Calculamos a proporção observada no segundo mês:
p = 456950 approx 0,480
E a proporção do primeiro mês é aproximadamente 0,45.

Passo 10

Calculamos o erro padrão usando a proporção do primeiro mês:
SE = raizp0 (1 - p0)n = raiz0,45 times 0,55950 approx 0,0159

Passo 11

Calculamos o valor do teste z:
z = p - p0SE = 0,480 - 0,450,0159 approx 1,887

Passo 12

Determina-se o valor crítico para um teste unilateral à direita com nível de significância de 5%. Consultando a tabela z, o valor crítico é aproximadamente 1,645.

Passo 13

Comparando o valor calculado de z com o valor crítico:
1,887 > 1,645
Como o valor de z está na região de rejeição, rejeitamos a hipótese nula.

Resposta

Parte (b): Com um nível de significância de 5%, há evidências suficientes para concluir que houve um aumento na proporção de respostas favoráveis ao projeto no segundo mês.

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