Medições de resistência ao corte, obtidas de testes de compressão não confinada para dois tipos de solos, proporcionaram os resultados mostrados na tabela (medidos em toneladas por pé quadrado) Parecem diferir os solos em relação à média de resistência ao corte com nível de significância de
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Tipo de solo I | Tipo de solo II |
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Passo 1
Vamos resolver um exercício de estatística onde queremos saber se dois tipos de solo têm, de fato, médias diferentes de resistência ao corte. Estamos trabalhando com dados de dois grupos de solos, cada um com sua própria média, desvio padrão e tamanho de amostra. A matéria envolvida aqui é o teste de hipóteses para comparar duas médias, e vamos precisar usar o teste t para isso.
Passo 2
Primeiro, precisamos formular as hipóteses que vamos testar:
- Hipótese Nula (H₀): As médias de resistência ao corte dos dois tipos de solo são iguais. Matemáticamente, $ H_0: \mu_1 = \mu_2 $.
- Hipótese Alternativa (H₁): As médias de resistência ao corte dos dois tipos de solo são diferentes. Matemáticamente, $ H_1: \mu_1 \neq \mu_2 $.
Passo 3
Agora, vamos escolher o teste estatístico apropriado. Como temos duas amostras independentes e queremos comparar suas médias, usamos o teste t para duas amostras. Assumiremos que as variâncias são diferentes (teste t de Welch), já que os desvios padrão dos dois grupos não são iguais.
Passo 4
Vamos calcular a estatística do teste t usando a seguinte fórmula:
Onde:
- $ \bar{x}_1 = 1,65 $ toneladas/ft² (média do solo I)
- $ \bar{x}_2 = 1,43 $ toneladas/ft² (média do solo II)
- $ s_1 = 0,26 $ (desvio padrão do solo I)
- $ s_2 = 0,22 $ (desvio padrão do solo II)
- $ n_1 = 30 $ (tamanho da amostra do solo I)
- $ n_2 = 35 $ (tamanho da amostra do solo II)
Substituindo os valores:
Passo 5
Agora, precisamos determinar o valor crítico para o teste t com um nível de significância de 1%. Como estamos fazendo um teste bilateral (as médias podem ser maiores ou menores), dividimos o nível de significância por 2.
Para graus de liberdade, usamos a fórmula aproximada do teste de Welch:
Consultando uma tabela t ou usando uma calculadora, o valor crítico para $ v \approx 75 $ graus de liberdade e nível de significância de 1% (teste bilateral) é aproximadamente 2,64.
Passo 6
Comparamos o valor calculado de t (3,65) com o valor crítico (2,64):
- Se $ |t| > valor crítico $, rejeitamos a hipótese nula.
- Se $ |t| \leq valor crítico $, não rejeitamos a hipótese nula.
Como $ 3,65 > 2,64 $, rejeitamos a hipótese nula.
Resposta
Há evidências suficientes para concluir que existe uma diferença significativa nas médias de resistência ao corte entre os dois tipos de solo, com um nível de significância de 1 %.