Pode considerar-se que a variação da temperatura corporal é uma variável aleatória normal. Analisou-se uma amostra aleatória de 35 adultos, registrou-se a sua temperatura corporal em 2 períodos de tempo distintos, obtendo uma variação média de 1,2 graus e uma variância de 0,16.
(a) Au nível de significância de
, teste se a variação média esperada poderá ser considerada: (a) igual a 1,3 graus. (b) inferior a 1,3 graus.
(b) Calcule o valor-p para cada um dos testes anteriores.
(a) Au nível de significância de
(b) Calcule o valor-p para cada um dos testes anteriores.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um problema onde a variação da temperatura corporal é considerada uma variável aleatória que segue uma distribuição normal. Foi feita uma amostra de 35 adultos, medindo a variação média de 1,2 graus e uma variância de 0,16. Nosso objetivo é, primeiro, testar se a variação média é igual ou inferior a 1,3 graus usando um nível de significância de 8%. Depois, calcular o valor-p para cada um desses testes. Para resolver isso, vamos precisar usar testes de hipóteses para médias com distribuição normal.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um teste de hipóteses. Basicamente, queremos verificar se a média da nossa amostra suporta a afirmação de que a variação média da população é igual a 1,3 graus (hipótese nula) ou se é diferente/inferior a esse valor (hipótese alternativa).
Passo 3
Vamos formular as hipóteses para os dois casos:
a. Igual a 1,3 graus
- Hipótese Nula (H₀): μ = 1,3
- Hipótese Alternativa (H₁): μ ≠ 1,3
b. Inferior a 1,3 graus
- Hipótese Nula (H₀): μ = 1,3
- Hipótese Alternativa (H₁): μ < 1,3
Passo 4
Agora, vamos calcular o valor do teste estatístico. Como conhecemos a variância da amostra e a distribuição é normal, usamos o teste z. A fórmula do z é:
Onde:
-
é a média da amostra (1,2) -
é a média hipotética (1,3) -
é o desvio padrão da população (a raiz quadrada da variância, então ) -
é o tamanho da amostra (35)
Passo 5
Vamos substituir os valores na fórmula:
Passo 6
Agora, com o valor de z calculado, vamos comparar com o nível de significância de 8% (0,08). Para o teste bilateral (igual a 1,3), dividimos o nível de significância por 2 para cada cauda da distribuição.
- Testando Igual a 1,3 (H₁: μ ≠ 1,3):
- Nível de significância de cada cauda: 0,04
- Procuramos o valor crítico de z para 0,04 em cada lado, que é aproximadamente ±1,75
Como -1,478 está dentro de -1,75 e 1,75, não rejeitamos a hipótese nula.
- Testando Inferior a 1,3 (H₁: μ < 1,3):
- O teste é unilateral, então todo o nível de significância é na cauda esquerda: 0,08
- O valor crítico de z para 0,08 é aproximadamente -1,405
Como -1,478 < -1,405, rejeitamos a hipótese nula.
Passo 7
Para calcular o valor-p, que é a probabilidade de obter um resultado tão extremo quanto o observado, dado que a hipótese nula é verdadeira.
a. Igual a 1,3 graus:
- Como é um teste bilateral, calculamos duas vezes a probabilidade de z ser menor que -1,478.
- Usando uma tabela z, P(z < -1,478) ≈ 0,069
- Então, valor-p ≈ 2 * 0,069 = 0,138
b. Inferior a 1,3 graus:
- É um teste unilateral, então valor-p = P(z < -1,478) ≈ 0,069
Resposta
a.
- Para o teste de igualdade a 1,3 graus, como o valor-p (≈0,138) é maior que o nível de significância de 8%, não rejeitamos a hipótese nula.
- Para o teste de ser inferior a 1,3 graus, como o valor-p (≈0,069) é menor que 8%, rejeitamos a hipótese nula.
b.
- Valor-p para o teste de igualdade a 1,3 graus: ≈ 0,138
- Valor-p para o teste de ser inferior a 1,3 graus: ≈ 0,069