Duas antenas emissoras A e B estão localizadas nos pontos:
rA=(0,0,0) m e rB=(3,0,0) m
Elas emitem ondas eletromagnéticas coerentes de comprimento de onda lambda=500 nm. Um observador está na posição:
rp=(1,2,0) m
Determine se o ponto P está em uma posição de interferência construtiva ou destrutiva.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de interferência de ondas eletromagnéticas. A gente tem duas antenas, A e B, emitindo ondas com o mesmo comprimento de onda, que é de lambda = 500 , nm. A posição dos pontos são dadas pelas coordenadas:
rA=(0,0,0) m e rB=(3,0,0) m
O observador está no ponto:
rp=(1,2,0) m
Nosso objetivo é descobrir se nesse ponto P a interferência das ondas é construtiva (ondas se reforçam) ou destrutiva (ondas se anulam).

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é interferência construtiva e destrutiva. Quando duas ondas se encontram, elas interferem de duas maneiras:
  • Interferência Construtiva: As cristas de uma onda coincidem com as cristas da outra, reforçando a amplitude.
  • Interferência Destrutiva: As cristas de uma onda coincidem com os vales da outra, cancelando-se.
Para determinar isso, precisamos calcular a diferença de caminho que as ondas percorrem desde as antenas até o ponto P.

Passo 3

Vamos calcular a distância de cada antena até o ponto P. A fórmula para a distância entre dois pontos r1 = (x1, y1, z1) e r2 = (x2, y2, z2) no espaço é:
d = raiz(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2

Passo 4

Calculando a distância da antena A para o ponto P:
dA = raiz(1-0)^2 + (2-0)^2 + (0-0)^2 = raiz1 + 4 = raiz5 approx 2,24 , m
E a distância da antena B para o ponto P:
dB = raiz(1-3)^2 + (2-0)^2 + (0-0)^2 = raiz4 + 4 = raiz8 approx 2,83 , m

Passo 5

Agora, vamos achar a diferença de caminho De entre as duas ondas:
De

Passo 6

Sabemos que o comprimento de onda lambda = 500 , nm = 500 times 10^-9 , m. Para determinar a interferência, precisamos ver quantas vezes esse comprimento cabe na diferença de caminho.
Calculamos o número de comprimentos de onda na diferença de caminho:
De
Isso significa que a diferença de caminho é aproximadamente 1.180.000 vezes o comprimento de onda.

Passo 7

Para interferência construtiva, a diferença de caminho deve ser um múltiplo inteiro de lambda:
Deé
Para interferência destrutiva:
De
No nosso caso, De é um número inteiro de lambda multiplicado por 1.18 milhões, ou seja, praticamente um múltiplo inteiro.

Resposta

O ponto P está em uma posição de interferência construtiva.

Exercícios relacionados