Duas baterias idênticas de força eletromotriz varepsilon=12,0 \mathrm{~V} e resistência interna r=0,200 \Omega devem ser conectadas a uma resistência externa R.
Se R=2,00 r, para qual arranjo i é maior?

Passo 1

O enunciado dá duas baterias idênticas com força eletromotriz \varepsilon=12{,}0\\ \mathrm{V} e resistência interna r=0{,}200\\ \Omega, que serão conectadas a uma resistência externa R. Foi dada a relação \;R=2{,}00\,r. A pergunta é: para qual arranjo a corrente i no circuito é maior?\n\nAs duas configurações naturais a comparar são (i) baterias em série e (ii) baterias em paralelo. Vou calcular a corrente no resistor externo para cada arranjo e comparar.

Passo 2

Revisão da lei básica que usaremos (aula rápida e simples): quando uma fonte com força eletromotriz \varepsilon e resistência interna r alimenta uma resistência externa R, a corrente no circuito é dada pela versão elementar da lei de Ohm para fontes reais:
i=\frac{\varepsilon}{R+r}.
Aqui:
  • \varepsilon é a tensão ideal da bateria (em volts),
  • r é a resistência interna da bateria (em ohms),
  • R é a resistência externa onde queremos a corrente (em ohms),
  • i é a corrente (em ampères).\n\nEsse resultado vem de somar as resistências que aparecem no circuito (a interna e a externa) e aplicar V=IR com V=\varepsilon.

Passo 3

Tratamento do arranjo em série (explicando o conceito): ao ligar duas baterias idênticas em série, as forças eletromotrizes somam-se e as resistências internas também somam-se. Logo:
\varepsilon_{\text{s}}=2\varepsilon,\qquad r_{\text{s}}=2r.
A corrente no circuito com o resistor R será
i_{\text{s}}=\frac{\varepsilon_{\text{s}}}{R+r_{\text{s}}}=\frac{2\varepsilon}{R+2r}.

Passo 4

Cálculo numérico para o caso série usando \;R=2{,}00\,r: substituindo R=2r temos
R+2r=2r+2r=4r,
portanto
i_{\text{s}}=\frac{2\varepsilon}{4r}=\frac{\varepsilon}{2r}.
Agora substituindo os valores numéricos \varepsilon=12{,}0\\ \mathrm{V} e r=0{,}200\\ \Omega:
2r=0{,}400\\ \Omega,\qquad i_{\text{s}}=\frac{12{,}0}{0{,}400}=30{,}0\\ \mathrm{A}.

Passo 5

Tratamento do arranjo em paralelo (explicando o conceito): ao ligar duas baterias idênticas em paralelo, se elas são realmente idênticas (mesma \varepsilon e mesma r), a força eletromotriz equivalente permanece \varepsilon (não somam), e as resistências internas, por estarem em paralelo, têm equivalente dado por:
\frac{1}{r_{\text{p}}}=\frac{1}{r}+\frac{1}{r}=\frac{2}{r}\quad\Rightarrow\quad r_{\text{p}}=\frac{r}{2}.
Logo a corrente no circuito com o resistor R é
i_{\text{p}}=\frac{\varepsilon}{R+r_{\text{p}}}=\frac{\varepsilon}{R+\frac{r}{2}}.

Passo 6

Cálculo numérico para o caso paralelo usando \;R=2{,}00\,r: substituindo R=2r temos
R+\frac{r}{2}=2r+\frac{r}{2}=\frac{5}{2}r=2{,}5\,r.
Portanto
i_{\text{p}}=\frac{\varepsilon}{\frac{5}{2}r}=\frac{2\varepsilon}{5r}.
Com os valores numéricos \varepsilon=12{,}0\\ \mathrm{V} e r=0{,}200\\ \Omega temos
\frac{5}{2}r=\frac{5}{2}\cdot0{,}200=0{,}500\\ \Omega,\qquad i_{\text{p}}=\frac{12{,}0}{0{,}500}=24{,}0\\ \mathrm{A}.

Passo 7

Comparação final e intuição: obtivemos
i_{\text{s}}=30{,}0\\ \mathrm{A},\qquad i_{\text{p}}=24{,}0\\ \mathrm{A},
logo \;i_{\text{s}}>i_{\text{p}}. Intuitivamente: em série você dobra a tensão disponível (bom), mas também dobra a resistência interna (ruim); para os números dados o ganho de tensão compensa mais do que o aumento de resistência interna, resultando em corrente maior no caso série.

Resposta

Arranjo em série; i_{\text{s}}=30{,}0\\ \mathrm{A} e i_{\text{p}}=24{,}0\\ \mathrm{A}.

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