Duas bolas de massa
e uma de massa
, todas de tamanho desprezível, estão presas a uma quarta bola com massa
por hastes finas e muito leves, conforme a figura abaixo. O sistema gira em torno de um eixo perpendicular à figura e que passa pelo centro da bola de massa
. Inicialmente, a velocidade angular do sistema é
, quando o sistema começa a ser desacelerado com uma aceleração angular constante
.
(a) Determine o momento de inércia do sistema.
(b) Calcule a energia cinética inicial do sistema.
© Qual a variação de energia cinética do sistema após duas voltas completas?
(a) Determine o momento de inércia do sistema.
(b) Calcule a energia cinética inicial do sistema.
© Qual a variação de energia cinética do sistema após duas voltas completas?
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um sistema com quatro bolas ligadas: duas com massa
, uma com massa
e uma central com massa
. Essas bolas estão conectadas por hastes finas e leves, e o sistema gira em torno de um eixo que passa pela bola central de
. A gente vai usar conceitos de momento de inércia e energia cinética rotacional para resolver as três partes do exercício.
Passo 2
(a) Determinando o momento de inércia do sistema
Primeiro, o momento de inércia (
) mede quanta resistência um objeto tem para mudar seu estado de rotação. Para calcular o momento de inércia total do sistema, somamos os momentos de inércia de cada massa em relação ao eixo de rotação.
A fórmula para o momento de inércia de um ponto massa é:
Onde:
-
é a massa da partícula. -
é a distância da partícula ao eixo de rotação.
Vamos considerar que todas as hastes têm o mesmo comprimento
(não dado no enunciado, mas necessário para o cálculo). Supondo que as massas de
,
, e
estão a uma distância
do eixo central, e a massa central
está exatamente no eixo, então:
- As duas massas de
têm momento de inércia cada uma: - A massa de
: - A massa central
: (já que está no eixo)
Somando tudo:
Passo 3
(b) Calculando a energia cinética inicial do sistema
A energia cinética rotacional (
) é dada por:
Onde:
-
é o momento de inércia total. -
é a velocidade angular.
Já calculamos
e a velocidade angular inicial é
, então substituindo na fórmula:
Passo 4
© Variação da energia cinética após duas voltas completas
Primeiro, vamos entender o que acontece: o sistema está desacelerando com uma aceleração angular constante
. Queremos saber como a energia cinética muda após duas voltas.
Primeiro, vamos calcular o tempo necessário para dar duas voltas. Uma volta completa corresponde a um ângulo de
radianos. Duas voltas são
radianos.
A relação entre o ângulo (
), velocidade angular inicial (
), aceleração angular (
) e tempo (
) é:
Substituindo
:
Resolva essa equação para
(isso pode exigir a fórmula de Bhaskara). Depois de encontrar
, podemos calcular a velocidade angular final
usando:
Agora, calcule a energia cinética final:
A variação da energia cinética será:
Substitua os valores encontrados para
e
para obter a variação.
Resposta
A variação da energia cinética do sistema após duas voltas completas é
, onde
e
é calculada usando a velocidade angular final após o tempo necessário para completar as duas voltas.