Duas bolas de massa M e uma de massa M/2, todas de tamanho desprezível, estão presas a uma quarta bola com massa 2M por hastes finas e muito leves, conforme a figura abaixo. O sistema gira em torno de um eixo perpendicular à figura e que passa pelo centro da bola de massa 2M. Inicialmente, a velocidade angular do sistema é W, quando o sistema começa a ser desacelerado com uma aceleração angular constante alpha.
(a) Determine o momento de inércia do sistema.
(b) Calcule a energia cinética inicial do sistema.
© Qual a variação de energia cinética do sistema após duas voltas completas?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um sistema com quatro bolas ligadas: duas com massa M, uma com massa M/2 e uma central com massa 2M. Essas bolas estão conectadas por hastes finas e leves, e o sistema gira em torno de um eixo que passa pela bola central de 2M. A gente vai usar conceitos de momento de inércia e energia cinética rotacional para resolver as três partes do exercício.

Passo 2

(a) Determinando o momento de inércia do sistema
Primeiro, o momento de inércia ( I) mede quanta resistência um objeto tem para mudar seu estado de rotação. Para calcular o momento de inércia total do sistema, somamos os momentos de inércia de cada massa em relação ao eixo de rotação.
A fórmula para o momento de inércia de um ponto massa é:
I = m cdot r^2
Onde:
  • m é a massa da partícula.
  • r é a distância da partícula ao eixo de rotação.
Vamos considerar que todas as hastes têm o mesmo comprimento L (não dado no enunciado, mas necessário para o cálculo). Supondo que as massas de M, M, e M/2 estão a uma distância L do eixo central, e a massa central 2M está exatamente no eixo, então:
  • As duas massas de M têm momento de inércia cada uma: I1 = M cdot L^2
  • A massa de M/2: I2 = M2 cdot L^2
  • A massa central 2M: I3 = 2M cdot 0^2 = 0 (já que está no eixo)
Somando tudo:
Itotal = 2I1 + I2 + I3 = 2(M cdot L^2) + M2 cdot L^2 + 0 = (2M + M2)L^2 = 5M2 L^2

Passo 3

(b) Calculando a energia cinética inicial do sistema
A energia cinética rotacional ( K) é dada por:
K = 12 I omega^2
Onde:
  • I é o momento de inércia total.
  • omega é a velocidade angular.
Já calculamos Itotal = 5M2 L^2 e a velocidade angular inicial é W, então substituindo na fórmula:
Kinicial = 12 cdot 5M2 L^2 cdot W^2 = 5M L^2 W^24

Passo 4

© Variação da energia cinética após duas voltas completas
Primeiro, vamos entender o que acontece: o sistema está desacelerando com uma aceleração angular constante alpha. Queremos saber como a energia cinética muda após duas voltas.
Primeiro, vamos calcular o tempo necessário para dar duas voltas. Uma volta completa corresponde a um ângulo de 2pi radianos. Duas voltas são 4pi radianos.
A relação entre o ângulo ( theta), velocidade angular inicial ( W), aceleração angular ( alpha) e tempo ( t) é:
theta = W t + 12 alpha t^2
Substituindo theta = 4pi:
4pi = W t + 12 alpha t^2
Resolva essa equação para t (isso pode exigir a fórmula de Bhaskara). Depois de encontrar t, podemos calcular a velocidade angular final Wf usando:
Wf = W + alpha t
Agora, calcule a energia cinética final:
Kfinal = 12 I omegaf^2
A variação da energia cinética será:
De
Substitua os valores encontrados para Kfinal e Kinicial para obter a variação.

Resposta

A variação da energia cinética do sistema após duas voltas completas é De, onde Kinicial = 5M L^2 W^24 e Kfinal é calculada usando a velocidade angular final após o tempo necessário para completar as duas voltas.

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