Duas bolas de massas
e
movem-se ao longo de uma mesma linha e colidem frontalmente de forma perfeitamente elástica. As velocidades iniciais são
e
. Determine as velocidades de cada bola após a colisão nos seguintes casos:
As duas bolas movem-se inicialmente na mesma direção (a bola 1 atrás da bola 2).
As duas bolas movem-se inicialmente na mesma direção (a bola 1 atrás da bola 2).
Passo 1
O enunciado dá duas bolas que se movem numa mesma linha e colidem frontalmente de forma perfeitamente elástica. Os dados fornecidos são:
-
. -
. - velocidades iniciais:
e . - Informação adicional implícita: ambas movem-se na mesma direção e a bola 1 está atrás da bola 2 (ou seja,
e haverá colisão).
O que o problema pede:
- Determinar as velocidades finais de cada bola após a colisão, isto é os valores de
e .
Passo 2
Princípios físicos que vamos usar (explicando cada variável):
-
Conservação do momento linear (quantidade de movimento): a soma dos momentos antes é igual à soma depois, porque não há forças externas impulsivas horizontais relevantes.Aqui
são as massas e , são as velocidades antes e depois da colisão, respectivamente. -
Conservação da energia cinética (colisão perfeitamente elástica): a soma das energias cinéticas antes é igual à soma depois.Posso multiplicar por 2 para ficar sem o
.
Essas duas equações formam um sistema para as incógnitas
e
.
Passo 3
Derivar uma relação útil entre as velocidades relativa antes e depois (truque clássico: a velocidade relativa inverte o sinal numa colisão elástica 1D).
Começo reescrevendo a conservação do momento como
Multiplicando a conservação da energia por 2 e rearranjando:
Agora fatorando as diferenças de quadrados:
Observe que
aparece na equação do momento igual a
. Substituindo essa igualdade na equação de energia e dividindo por esse fator (assumindo colisão efetiva, fator não nulo), obtemos
Rearranjando:
Isto significa que, em colisões perfeitamente elásticas unidimensionais, a velocidade relativa é invertida: a rapidez com que a bola 1 se aproxima da bola 2 antes da colisão torna-se a mesma rapidez com sinal contrário depois.
Passo 4
Agora usamos as duas equações lineares obtidas: a conservação do momento e a relação de inversão da velocidade relativa. Vou escrever explicitamente as duas equações em termos de
e
.
Conservação do momento:
Inversão de velocidade relativa:
Essas duas equações são lineares em
e
e podem ser resolvidas de forma direta. Vou manipular para isolar
e
.
Da segunda equação:
Substituo na equação do momento:
Agrupando os termos que contêm
e os constantes:
Isolando
:
Logo a fórmula geral para
é
Usando a simetria (ou resolvendo de forma análoga) obtemos para
:
Essas são as fórmulas padrão para colisão elástica unidimensional entre duas massas.
Passo 5
Agora substituo os valores numéricos
,
,
,
nas fórmulas.
Calcule primeiro
e
:
Para
:
Faço as frações passo a passo:
Somando:
Passo 6
Agora
:
Calculo termo a termo:
Somando:
Passo 7
Verificação rápida (para ficar tranquilo): conservaram-se momento e energia?
Momento inicial:
Momento final:
Energia cinética inicial:
Energia cinética final:
Tudo confere: momento e energia preservados.