Duas bolas de massas m_{1}=5 \mathrm{~kg} e m_{2}=3 \mathrm{~kg} movem-se ao longo de uma mesma linha e colidem frontalmente de forma perfeitamente elástica. As velocidades iniciais são v_{1}=9 \mathrm{~m} / \mathrm{s} e v_{2}=5 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Determine as velocidades de cada bola após a colisão nos seguintes casos:
As duas bolas movem-se inicialmente na mesma direção (a bola 1 atrás da bola 2).

Passo 1

O enunciado dá duas bolas que se movem numa mesma linha e colidem frontalmente de forma perfeitamente elástica. Os dados fornecidos são:
  • m_{1}=5\\ \mathrm{kg}.
  • m_{2}=3\\ \mathrm{kg}.
  • velocidades iniciais: v_{1}=9\\ \mathrm{m/s} e v_{2}=5\\ \mathrm{m/s}.
  • Informação adicional implícita: ambas movem-se na mesma direção e a bola 1 está atrás da bola 2 (ou seja, v_{1}>v_{2} e haverá colisão).
O que o problema pede:
  • Determinar as velocidades finais de cada bola após a colisão, isto é os valores de v_{1}' e v_{2}'.

Passo 2

Princípios físicos que vamos usar (explicando cada variável):
  • Conservação do momento linear (quantidade de movimento): a soma dos momentos antes é igual à soma depois, porque não há forças externas impulsivas horizontais relevantes.
    m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}=m_{1}v_{1}'+m_{2}v_{2}'.
    Aqui m_{i} são as massas e v_{i}, v_{i}' são as velocidades antes e depois da colisão, respectivamente.
  • Conservação da energia cinética (colisão perfeitamente elástica): a soma das energias cinéticas antes é igual à soma depois.
    \tfrac{1}{2}m_{1}v_{1}^{2}+\tfrac{1}{2}m_{2}v_{2}^{2}=\tfrac{1}{2}m_{1}v_{1}'^{2}+\tfrac{1}{2}m_{2}v_{2}'^{2}.
    Posso multiplicar por 2 para ficar sem o \tfrac{1}{2}.
Essas duas equações formam um sistema para as incógnitas v_{1}' e v_{2}'.

Passo 3

Derivar uma relação útil entre as velocidades relativa antes e depois (truque clássico: a velocidade relativa inverte o sinal numa colisão elástica 1D).
Começo reescrevendo a conservação do momento como
m_{1}(v_{1}-v_{1}') = m_{2}(v_{2}'-v_{2}).
Multiplicando a conservação da energia por 2 e rearranjando:
m_{1}(v_{1}^{2}-v_{1}'^{2}) = m_{2}(v_{2}'^{2}-v_{2}^{2}).
Agora fatorando as diferenças de quadrados:
m_{1}(v_{1}-v_{1}')(v_{1}+v_{1}') = m_{2}(v_{2}'-v_{2})(v_{2}'+v_{2}).
Observe que m_{1}(v_{1}-v_{1}') aparece na equação do momento igual a m_{2}(v_{2}'-v_{2}). Substituindo essa igualdade na equação de energia e dividindo por esse fator (assumindo colisão efetiva, fator não nulo), obtemos
v_{1}+v_{1}' = v_{2}'+v_{2}.
Rearranjando:
v_{1}-v_{2} = -(v_{1}'-v_{2}').
Isto significa que, em colisões perfeitamente elásticas unidimensionais, a velocidade relativa é invertida: a rapidez com que a bola 1 se aproxima da bola 2 antes da colisão torna-se a mesma rapidez com sinal contrário depois.

Passo 4

Agora usamos as duas equações lineares obtidas: a conservação do momento e a relação de inversão da velocidade relativa. Vou escrever explicitamente as duas equações em termos de v_{1}' e v_{2}'.
Conservação do momento:
m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}=m_{1}v_{1}'+m_{2}v_{2}'.
Inversão de velocidade relativa:
v_{1}'-v_{2}' = -(v_{1}-v_{2}).
Essas duas equações são lineares em v_{1}' e v_{2}' e podem ser resolvidas de forma direta. Vou manipular para isolar v_{1}' e v_{2}'.
Da segunda equação:
v_{1}' = v_{2}' - (v_{1}-v_{2}) = v_{2}' - v_{1} + v_{2}.
Substituo na equação do momento:
m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2} = m_{1}\bigl(v_{2}' - v_{1} + v_{2}\bigr) + m_{2}v_{2}'.
Agrupando os termos que contêm v_{2}' e os constantes:
m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2} = (m_{1}+m_{2})v_{2}' - m_{1}v_{1} + m_{1}v_{2}.
Isolando v_{2}':
(m_{1}+m_{2})v_{2}' = m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2} + m_{1}v_{1} - m_{1}v_{2}.
(m_{1}+m_{2})v_{2}' = 2m_{1}v_{1} + (m_{2}-m_{1})v_{2}.
Logo a fórmula geral para v_{2}' é
v_{2}' = \frac{2m_{1}}{m_{1}+m_{2}}\,v_{1} + \frac{m_{2}-m_{1}}{m_{1}+m_{2}}\,v_{2}.
Usando a simetria (ou resolvendo de forma análoga) obtemos para v_{1}':
v_{1}' = \frac{m_{1}-m_{2}}{m_{1}+m_{2}}\,v_{1} + \frac{2m_{2}}{m_{1}+m_{2}}\,v_{2}.
Essas são as fórmulas padrão para colisão elástica unidimensional entre duas massas.

Passo 5

Agora substituo os valores numéricos m_{1}=5, m_{2}=3, v_{1}=9, v_{2}=5 nas fórmulas.
Calcule primeiro m_{1}+m_{2} e m_{1}-m_{2}:
m_{1}+m_{2}=5+3=8, \qquad m_{1}-m_{2}=5-3=2.
Para v_{1}':
v_{1}' = \frac{m_{1}-m_{2}}{m_{1}+m_{2}}\,v_{1} + \frac{2m_{2}}{m_{1}+m_{2}}\,v_{2} = \frac{2}{8}\cdot 9 + \frac{2\cdot 3}{8}\cdot 5.
Faço as frações passo a passo:
\frac{2}{8}\cdot 9 = \frac{1}{4}\cdot 9 = \frac{9}{4}, \qquad \frac{2\cdot 3}{8}\cdot 5 = \frac{6}{8}\cdot 5 = \frac{3}{4}\cdot 5 = \frac{15}{4}.
Somando:
v_{1}' = \frac{9}{4} + \frac{15}{4} = \frac{24}{4} = 6\\ \mathrm{m/s}.

Passo 6

Agora v_{2}':
v_{2}' = \frac{2m_{1}}{m_{1}+m_{2}}\,v_{1} + \frac{m_{2}-m_{1}}{m_{1}+m_{2}}\,v_{2} = \frac{2\cdot 5}{8}\cdot 9 + \frac{3-5}{8}\cdot 5.
Calculo termo a termo:
\frac{2\cdot 5}{8}\cdot 9 = \frac{10}{8}\cdot 9 = \frac{5}{4}\cdot 9 = \frac{45}{4},
\frac{3-5}{8}\cdot 5 = \frac{-2}{8}\cdot 5 = -\frac{1}{4}\cdot 5 = -\frac{5}{4}.
Somando:
v_{2}' = \frac{45}{4} - \frac{5}{4} = \frac{40}{4} = 10\\ \mathrm{m/s}.

Passo 7

Verificação rápida (para ficar tranquilo): conservaram-se momento e energia?
Momento inicial:
m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}=5\cdot 9 + 3\cdot 5 =45+15=60\\ \mathrm{kg\cdot m/s}.
Momento final:
5\cdot 6 + 3\cdot 10 =30+30=60\\ \mathrm{kg\cdot m/s}.
Energia cinética inicial:
\tfrac{1}{2}(5\cdot 9^{2} + 3\cdot 5^{2}) = \tfrac{1}{2}(405+75)=\tfrac{1}{2}\cdot 480 =240\\ \mathrm{J}.
Energia cinética final:
\tfrac{1}{2}(5\cdot 6^{2} + 3\cdot 10^{2}) = \tfrac{1}{2}(180+300)=\tfrac{1}{2}\cdot 480 =240\\ \mathrm{J}.
Tudo confere: momento e energia preservados.

Resposta

v_{1}'=6\\ \mathrm{m/s}
v_{2}'=10\\ \mathrm{m/s}

Exercícios relacionados