Duas bolas de massas m_{1}=5 \mathrm{~kg} e m_{2}=3 \mathrm{~kg} movem-se ao longo de uma mesma linha e colidem frontalmente de forma perfeitamente elástica. As velocidades iniciais são v_{1}=9 \mathrm{~m} / \mathrm{s} e v_{2}=5 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Determine as velocidades de cada bola após a colisão nos seguintes casos:
As bolas movem-se inicialmente em direções opostas.

Passo 1

Dados e o que a questão pede (vou listar exatamente o que foi dado no enunciado):
  • Massa da bola 1: m_{1}=5\\ \mathrm{kg}.
  • Massa da bola 2: m_{2}=3\\ \mathrm{kg}.
  • Velocidades iniciais (módulos dados): v_{1}=9\\ \mathrm{m/s} e v_{2}=5\\ \mathrm{m/s}.
  • Informação adicional do enunciado: as bolas movem-se inicialmente em direções opostas.
O que a questão pede:
  • Determinar as velocidades finais de cada bola imediatamente após a colisão, no caso em que a colisão é frontal e perfeitamente elástica e as bolas vinham em direções opostas.
Observação sobre sinal das velocidades (escolha de convenção):
  • Vou adotar a convenção: direção para a direita é positiva.
  • Como as bolas vêm em direções opostas, atribuo sinais compatíveis com isso. Tomando a primeira bola movendo-se para a direita, uso v_{1}=+9\\ \mathrm{m/s}. Então a segunda bola, movendo-se para a esquerda, tem velocidade v_{2}=-5\\ \mathrm{m/s}. (Essa escolha é só uma convenção; os resultados finais em módulo/direção acompanham essa escolha.)

Passo 2

Conservações que valem numa colisão unidimensional perfeitamente elástica:
  • Conservação da quantidade de movimento (momentum):
m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}=m_{1}v_{1}'+m_{2}v_{2}'.
Aqui v_{1}' e v_{2}' são as velocidades das bolas 1 e 2 imediatamente após a colisão.
  • Conservação da energia cinética:
\tfrac{1}{2}m_{1}v_{1}^{2}+\tfrac{1}{2}m_{2}v_{2}^{2}=\tfrac{1}{2}m_{1}v_{1}'^{2}+\tfrac{1}{2}m_{2}v_{2}'^{2}.
Explicando as fórmulas de forma simples:
  • Na equação do momentum, cada termo m v representa “quantidade de movimento” de cada bola; a soma antes e depois da colisão deve ser igual porque não há forças externas horizontais.
  • Na equação da energia cinética, os termos \tfrac{1}{2} m v^{2} são as energias cinéticas; numa colisão perfeitamente elástica a energia cinética total é conservada.

Passo 3

Uma forma prática de resolver o sistema é usar uma propriedade útil da colisão elástica unidimensional: a velocidade relativa se inverte. Ou seja,
v_{1}-v_{2}=-(v_{1}'-v_{2}').
Vou mostrar rapidamente por que isso vale (derivação curta e didática):
  • Comece escrevendo a conservação do momentum em forma rearranjada:
m_{1}(v_{1}-v_{1}')=m_{2}(v_{2}'-v_{2}).
  • Escreva a conservação da energia (cancelando os fatores \tfrac{1}{2}):
m_{1}(v_{1}^{2}-v_{1}'^{2})=m_{2}(v_{2}'^{2}-v_{2}^{2}).
  • Fatorando as diferenças de quadrado:
m_{1}(v_{1}-v_{1}')(v_{1}+v_{1}')=m_{2}(v_{2}'-v_{2})(v_{2}'+v_{2}).
  • Divide-se essa expressão pela equação de momentum (assumindo que v_{1}\neq v_{1}' e v_{2}'\neq v_{2}, o que é o caso numa colisão não trivial) para obter:
v_{1}+v_{1}'=v_{2}'+v_{2}.
  • Reorganizando essa igualdade chega-se precisamente a
v_{1}-v_{2}=-(v_{1}'-v_{2}').
Interpretação física rápida: na colisão perfeitamente elástica a velocidade relativa entre as bolas troca de sinal (as bolas “trocam” a velocidade relativa).

Passo 4

Usando as duas relações (momentum e inversão da velocidade relativa) obtemos um sistema linear simples para v_{1}' e v_{2}':
  1. Conservação do momentum:
m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}=m_{1}v_{1}'+m_{2}v_{2}'.
  1. Inversão da velocidade relativa:
v_{1}'-v_{2}'=-(v_{1}-v_{2}).
Da segunda equação tiramos:
v_{1}'=v_{2}'-(v_{1}-v_{2}).
Substituindo essa expressão para v_{1}' na equação do momentum:
m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}=m_{1}\bigl(v_{2}'-(v_{1}-v_{2})\bigr)+m_{2}v_{2}'.
Agora agrupamos os termos com v_{2}':
(m_{1}+m_{2})v_{2}'=m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}+m_{1}(v_{1}-v_{2}).
Simplificando o lado direito:
(m_{1}+m_{2})v_{2}'=2m_{1}v_{1}+(m_{2}-m_{1})v_{2}.
Portanto a fórmula geral para v_{2}' é
v_{2}'=\frac{2m_{1}v_{1}+(m_{2}-m_{1})v_{2}}{m_{1}+m_{2}}.
Em seguida obtemos v_{1}' por
v_{1}'=v_{2}'-(v_{1}-v_{2}).
(Observação: existem fórmulas diretas equivalentes para colisões elásticas unidimensionais:
v_{1}'=\frac{(m_{1}-m_{2})v_{1}+2m_{2}v_{2}}{m_{1}+m_{2}},\qquad v_{2}'=\frac{2m_{1}v_{1}+(m_{2}-m_{1})v_{2}}{m_{1}+m_{2}}.
Mas derivei v_{2}' e v_{1}' passo a passo para ficar claro como aplicar na prova.)

Passo 5

Agora substituímos os valores numéricos (lembrando a convenção de sinais definida no Passo 1):
m_{1}=5,\quad m_{2}=3,\quad v_{1}=+9,\quad v_{2}=-5.
Calcule o denominador comum:
m_{1}+m_{2}=5+3=8.
Calcule o numerador de v_{2}':
2m_{1}v_{1}+(m_{2}-m_{1})v_{2} =2\cdot5\cdot9+(3-5)\cdot(-5).
Computando passo a passo:
2\cdot5\cdot9=90,
(3-5)\cdot(-5)=(-2)\cdot(-5)=10,
\text{numerador}=90+10=100.
Logo
v_{2}'=\frac{100}{8}=12{,}5\\ \mathrm{m/s}.

Passo 6

Agora obtemos v_{1}' usando a relação v_{1}'=v_{2}'-(v_{1}-v_{2}).
Calcule v_{1}-v_{2}:
v_{1}-v_{2}=9-(-5)=9+5=14.
Então
v_{1}'=12{,}5-14=-1{,}5\\ \mathrm{m/s}.
Interpretação física rápida (para te motivar): v_{1}' negativo indica que a bola 1 (que vinha para a direita) inverteu o sentido e passou a mover-se para a esquerda com 1{,}5\\ \mathrm{m/s}. A bola 2 ficou com velocidade positiva 12{,}5\\ \mathrm{m/s}, ou seja, agora move-se para a direita e com maior velocidade do que qualquer uma das velocidades iniciais (isto é possível porque parte da energia cinética foi transferida da bola mais pesada para a mais leve).

Resposta

v_{1}'=-1{,}5\\ \mathrm{m/s}\n
v_{2}'=12{,}5\\ \mathrm{m/s}

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