Duas bolas de massas
e
movem-se ao longo de uma mesma linha e colidem frontalmente de forma perfeitamente elástica. As velocidades iniciais são
e
. Determine as velocidades de cada bola após a colisão nos seguintes casos:
As bolas movem-se inicialmente em direções opostas.
As bolas movem-se inicialmente em direções opostas.
Passo 1
Dados e o que a questão pede (vou listar exatamente o que foi dado no enunciado):
- Massa da bola 1:
. - Massa da bola 2:
. - Velocidades iniciais (módulos dados):
e . - Informação adicional do enunciado: as bolas movem-se inicialmente em direções opostas.
O que a questão pede:
- Determinar as velocidades finais de cada bola imediatamente após a colisão, no caso em que a colisão é frontal e perfeitamente elástica e as bolas vinham em direções opostas.
Observação sobre sinal das velocidades (escolha de convenção):
- Vou adotar a convenção: direção para a direita é positiva.
- Como as bolas vêm em direções opostas, atribuo sinais compatíveis com isso. Tomando a primeira bola movendo-se para a direita, uso
. Então a segunda bola, movendo-se para a esquerda, tem velocidade . (Essa escolha é só uma convenção; os resultados finais em módulo/direção acompanham essa escolha.)
Passo 2
Conservações que valem numa colisão unidimensional perfeitamente elástica:
- Conservação da quantidade de movimento (momentum):
Aqui
e
são as velocidades das bolas 1 e 2 imediatamente após a colisão.
- Conservação da energia cinética:
Explicando as fórmulas de forma simples:
- Na equação do momentum, cada termo
representa “quantidade de movimento” de cada bola; a soma antes e depois da colisão deve ser igual porque não há forças externas horizontais. - Na equação da energia cinética, os termos
são as energias cinéticas; numa colisão perfeitamente elástica a energia cinética total é conservada.
Passo 3
Uma forma prática de resolver o sistema é usar uma propriedade útil da colisão elástica unidimensional: a velocidade relativa se inverte. Ou seja,
Vou mostrar rapidamente por que isso vale (derivação curta e didática):
- Comece escrevendo a conservação do momentum em forma rearranjada:
- Escreva a conservação da energia (cancelando os fatores
):
- Fatorando as diferenças de quadrado:
- Divide-se essa expressão pela equação de momentum (assumindo que
e , o que é o caso numa colisão não trivial) para obter:
- Reorganizando essa igualdade chega-se precisamente a
Interpretação física rápida: na colisão perfeitamente elástica a velocidade relativa entre as bolas troca de sinal (as bolas “trocam” a velocidade relativa).
Passo 4
Usando as duas relações (momentum e inversão da velocidade relativa) obtemos um sistema linear simples para
e
:
- Conservação do momentum:
- Inversão da velocidade relativa:
Da segunda equação tiramos:
Substituindo essa expressão para
na equação do momentum:
Agora agrupamos os termos com
:
Simplificando o lado direito:
Portanto a fórmula geral para
é
Em seguida obtemos
por
(Observação: existem fórmulas diretas equivalentes para colisões elásticas unidimensionais:
Mas derivei
e
passo a passo para ficar claro como aplicar na prova.)
Passo 5
Agora substituímos os valores numéricos (lembrando a convenção de sinais definida no Passo 1):
Calcule o denominador comum:
Calcule o numerador de
:
Computando passo a passo:
Logo
Passo 6
Agora obtemos
usando a relação
.
Calcule :
Calcule
Então
Interpretação física rápida (para te motivar):
negativo indica que a bola 1 (que vinha para a direita) inverteu o sentido e passou a mover-se para a esquerda com
. A bola 2 ficou com velocidade positiva
, ou seja, agora move-se para a direita e com maior velocidade do que qualquer uma das velocidades iniciais (isto é possível porque parte da energia cinética foi transferida da bola mais pesada para a mais leve).