Duas cargas, cada uma de 4,0 mu C, são posicionadas sobre o eixo x, uma na origem e outra em x=8 m. Determine o campo elétrico em (a) x=-2 m, (b) x=2 m, © x=6 m, (d) x=10 m, (e) em que ponto do eixo x o campo elétrico é nulo?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem duas cargas elétricas iguais de 4,0, mu C posicionadas no eixo x: uma na origem (0, m) e a outra em 8, m. Nosso objetivo é calcular o campo elétrico em diferentes pontos ao longo desse eixo e descobrir em qual ponto o campo elétrico resultante é nulo. Para isso, vamos usar a Lei de Coulomb e a definição de campo elétrico.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o campo elétrico ( E) criado por uma carga pontual é dado pela fórmula:
E = k Qr^2
onde:
  • k = 8,99 times 10^9, N cdot m^2/C^2 é a constante de Coulomb,
  • Q é a carga,
  • r é a distância entre a carga e o ponto onde estamos calculando o campo.
Como temos duas cargas, vamos calcular o campo elétrico gerado por cada uma separadamente no ponto de interesse e depois somá-los levando em conta a direção.

Passo 3

Parte (a): x = -2, m

  • Posição do ponto: -2, m está à esquerda da carga na origem.
  • Distância da carga na origem: 2, m.
  • Distância da carga em 8, m: 10, m (pois 8 + 2 = 10).
Agora, vamos calcular o campo elétrico de cada carga nesse ponto.
  • Campo da carga na origem:
    E1 = k 4,0 times 10^-6, C(2)^2 = 8,99 times 10^9 times 4,0 times 10^-64 = 8,99 times 10^3, N/C
    A direção é para a direita (pois as cargas são positivas e o campo aponta para longe da carga).
  • Campo da carga em 8, m:
    E2 = k 4,0 times 10^-6, C(10)^2 = 8,99 times 10^9 times 4,0 times 10^-6100 = 3596, N/C
    A direção é também para a esquerda (pois o campo aponta para longe da carga e o ponto está à esquerda).
Campo total:
Como os dois campos estão na mesma direção, somamos os valores:
Etotal = E1 + E2 = 8990 + 3596 = 12586, N/C
Direção: Para a direita.

Passo 4

Parte (b): x = 2, m

  • Posição do ponto: 2, m está à direita da carga na origem.
  • Distância da carga na origem: 2, m.
  • Distância da carga em 8, m: 6, m.
Calculando os campos:
  • Campo da carga na origem:
    E1 = k 4,0 times 10^-6, C(2)^2 = 8990, N/C
    Direção: Para a direita.
  • Campo da carga em 8, m:
    E2 = k 4,0 times 10^-6, C(6)^2 = 8,99 times 10^9 times 4,0 times 10^-636 approx 999, N/C
    Direção: Para a direita.
Campo total:
Etotal = E1 - E2 = 8990 - 999 = 7991, N/C
Direção: Para a direita.

Passo 5

Parte ©: x = 6, m

  • Posição do ponto: 6, m está entre as duas cargas.
  • Distância da carga na origem: 6, m.
  • Distância da carga em 8, m: 2, m.
Calculando os campos:
  • Campo da carga na origem:
    E1 = k 4,0 times 10^-6, C(6)^2 approx 8,99 times 10^9 times 4,0 times 10^-636 approx 999, N/C
    Direção: Para a direita.
  • Campo da carga em 8, m:
    E2 = k 4,0 times 10^-6, C(2)^2 = 8990, N/C
    Direção: Para a esquerda.
Campo total:
Etotal = E2 - E1 = 8990 - 999 = 7991, N/C
Direção: Para a esquerda.

Passo 6

Parte (d): x = 10, m

  • Posição do ponto: 10, m está à direita da carga em 8, m.
  • Distância da carga na origem: 10, m.
  • Distância da carga em 8, m: 2, m.
Calculando os campos:
  • Campo da carga na origem:
    E1 = k 4,0 times 10^-6, C(10)^2 = 3596, N/C
    Direção: Para a direita.
  • Campo da carga em 8, m:
    E2 = k 4,0 times 10^-6, C(2)^2 = 8990, N/C
    Direção: Para a direita.
Campo total:
Etotal = E1 + E2 = 3596 + 8990 = 12586, N/C
Direção: Para a direita.

Passo 7

Parte (e): Ponto onde o campo elétrico é nulo

Queremos encontrar um ponto x no eixo x onde o campo elétrico resultante das duas cargas seja zero. Vamos considerar que esse ponto está entre as duas cargas ou fora delas.
Vamos chamar a posição desse ponto de x. O campo elétrico total será a soma vetorial dos campos criados por cada carga. Para que o campo seja nulo:
E1 = E2
Usando a fórmula do campo elétrico:
k Q(x)^2 = k Q(8 - x)^2
Como as cargas são iguais, os k e Q se cancelam:
1x^2 = 1(8 - x)^2
Isso só é possível se x = 8 - x, o que dá x = 4, m. Mas nesse ponto, os campos das duas cargas têm a mesma magnitude e direção oposta, o que poderia cancelar o campo total.
Vamos verificar:
  • Distância da carga na origem: 4, m.
  • Distância da carga em 8, m: 4, m.
Calculando os campos:
Eori>=m = k 4,0 times 10^-616 = 2240, N/C
Direção: Para a direita.
E8 m = k 4,0 times 10^-616 = 2240, N/C
Direção: Para a esquerda.
Campo total:
Etotal = 2240 - 2240 = 0, N/C
Portanto, o campo elétrico é nulo em x = 4, m.

Resposta

(a) E = 1,26 times 10^4, N/C para a direita;
(b) E = 7,99 times 10^3, N/C para a direita;
© E = 7,99 times 10^3, N/C para a esquerda;
(d) E = 1,26 times 10^4, N/C para a direita;
(e) O campo elétrico é nulo em x = 4, m.

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