Uma empresa de armamentos bélicos realizará testes sobre um novo tipo de míssil que está sendo fabricado. A empresa pretende determinar a altura máxima que o míssil atinge após o lançamento e qual seu alcance máximo. Sabe-se que a trajetória descrita pelo míssil é uma parábola representada pela função y=-x^2+3 x, onde y é a altura atingida pelo míssil (em quilômetros) e x é o alcance (também em quilômetros). Quais serão os valores encontrados pela empresa?

Passo 1

Beleza, então o enunciado diz que a trajetória do míssil é dada por uma função quadrática (ou parábola)
y = -x^2 + 3x,
onde
  • xv = -b2a, yv = a,xv^2 + b,xv + c (em km) é o alcance horizontal,
  • x = -bpmraizb^2-4ac2a (em km) é a altura.
O que precisamos encontrar:
  1. A altura máxima que o míssil atinge (ou seja, o vértice da parábola).
  2. O alcance máximo, isto é, o valor de tal que (onde o míssil toca o solo de novo).
Para fazer isso, vamos usar:
  • A fórmula do vértice de uma função :
  • A resolução de raízes de , que pode ser feita por fatoração ou pela fórmula de Bhaskara:

Passo 2

Identificar os coeficientes da nossa função
y = -x^2 + 3x Longrightarrow a = -1,; b = 3,; c = 0
Como , a parábola abre para baixo, então o vértice é um máximo de altura.

Passo 3

Calcular a abcissa do vértice:
xv = -b2a = -32cdot(-1) = 32 = 1,5 km
Agora a ordenada do vértice (altura máxima):
yv = a,xv^2 + b,xv + c = (-1),(1,5)^2 + 3,(1,5) + 0 = -2,25 + 4,5 = 2,25 km

Passo 4

Para achar o alcance máximo, colocamos -x^2 + 3x = 0 e resolvemos
x(-x+3)=0 Longrightarrow x=0(ponto de lançamento), -x+3=0;Rightarrow;x=3 km
Podemos fatorar:
ç
Desprezamos (que é onde o míssil parte do solo) e ficamos com km como alcance máximo.

Resposta

Altura máxima: km (ocorre em km)
Alcance máximo: km.

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