Duas cargas elétricas positivas +Q são colocadas sobre o eixo x nas posições x=a e x=-a.
(A) Calcule o vetor campo elétrico ao longo do eixo y.
(B) Na origem do plano cartesiano xy coloca-se uma terceira carga negativa 2Q. Calcule o novo vetor campo elétrico ao longo do eixo y.

Passo 1

O enunciado coloca duas cargas pontuais positivas +Q nos pontos (a,0) e (-a,0) e pede o campo elétrico resultante ao longo do eixo y. O conteúdo usado será a Lei de Coulomb, que dá para uma carga pontual q em P o campo
vec E = k,qr^2,hat r,
onde k = 1/(4pivarepsilon0), r é a distância da carga até o ponto de avaliação e hat r é o versor nessa direção. Vamos explorar a simetria para somar os vetores.

Passo 2

Considere um ponto genérico (0,y) sobre o eixo y. A distância de cada carga +Q até esse ponto é
r = raiza^2 + y^2
O vetor unitário de (a,0) até (0,y) é
hat r1 = (-a),hat imath + y,hat jmathraiza^2+y^2,
e de (-a,0) até (0,y) é
hat r2 = (+a),hat imath + y,hat jmathraiza^2+y^2
Pela Lei de Coulomb, cada campo vale
vec E1 = k,Qr^2,hat r1 , vec E2 = k,Qr^2,hat r2

Passo 3

Somando vec E1+vec E2, nota-se que as componentes x se cancelam e as componentes y se somam:
Ex = kQl(-ar^3+ar^3r)=0, Ey = kQl(yr^3+yr^3r) = 2kQ,y(a^2+y^2)^3/2
Portanto, ao longo de todo o eixo y, o campo resultante das duas cargas é
boxedvec E(0,y) = 2kQ,yl(a^2+y^2r)^3/2;hat jmath

Passo 4

Para a parte (B), há agora uma terceira carga -2Q na origem. Em um ponto (0,y) (supondo y>0), a distância até a origem é lvert yrvert = y e o campo dessa carga é dirigido para a origem (pois a carga é negativa):
vec E3(0,y) = k,-2Qy^2,hat jmath = -2kQy^2,hat jmath

Passo 5

O campo total é a soma vetorial do campo das duas cargas +Q (Passo 3) com o campo da carga -2Q:
vec Erm tot(0,y) = 2kQ,y(a^2+y^2)^3/2;hat jmath ;-;2kQy^2;hat jmath = l(2kQ,y(a^2+y^2)^3/2-2kQy^2r)hat jmath

Resposta

(A) vec E(0,y)=2kQ,y(a^2+y^2)^3/2;hat jmath
(B) vec Erm tot(0,y)=l(2kQ,y(a^2+y^2)^3/2-2kQy^2r)hat jmath

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