Resolva as equações lineares dadas.
y^prime+cos (x) y=x

Passo 1

O enunciado apresenta a equação diferencial de primeira ordem linear
y' + cos(x),y = x
O conteúdo aqui é o método do fator integrante. Vamos identificar P(x)=cos(x) e Q(x)=x, calcular o fator integrante mu(x), reescrever a equação na forma l(mu,yr)'= mu,Q e integrar.

Passo 2

Calculemos o fator integrante:
mu(x) = expl(integral P(x),dxr) = expl(integral cos(x),dxr) = expl(sin(x)r)
Multiplicando a equação original por mu(x) temos
e^sin(x),y' + cos(x),e^sin(x),y = x,e^sin(x),
isto é,
l(e^sin(x),yr)' = x,e^sin(x)

Passo 3

Integramos ambos os lados em relação a x:
e^sin(x),y = integral x,e^sin(x),dx + C,
onde C é a constante de integração. A integral integral x,e^sin(x),dx não admite forma elementar simples, então a deixamos indicada.

Passo 4

Isolando y, obtemos a solução geral
y(x) = e^-sin(x)l(integral x,e^sin(x),dx + Cr)

Resposta

boxedy(x)=e^-sin(x)l(integral x,e^sin(x),dx + Cr)

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