Resolva as equações lineares dadas.
y^prime+y=1

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de primeira ordem
y' + y = 1
O conteúdo aqui é ODE linear, e vamos usar o método do fator integrante para encontrar a solução geral.

Passo 2

Colocamos a equação no formato padrão
y' + P(x),y = Q(x),
onde neste caso P(x)=1 e Q(x)=1.

Passo 3

Calculamos o fator integrante mu(x) como
mu(x) = e^integral P(x),dx = e^integral 1,dx = e^x

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original por mu(x):
e^x,y' + e^x,y = e^x
O lado esquerdo é a derivada do produto y,e^x, ou seja,
ddxl(y,e^xr) = e^x
Agora integramos ambos os lados:
integral ddxl(y,e^xr),dx = integral e^x,dx Longrightarrow y,e^x = e^x + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Para isolar y, dividimos por e^x:
y(x) = e^x + Ce^x = 1 + C,e^-x
Então a solução geral da equação é
y(x) = 1 + C,e^-x

Resposta

y(x) = 1 + C,e^-x,
onde C é uma constante arbitrária.

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